Экономичность системы счисления
Давайте попытаемся выбрать оптимальную систему счисления с точки зрения типографского наборщика. Т.е. мы должны выбрать систему счисления, в которой с помощью минимального запаса литер можно набрать максимальное число.
Рассмотрим на примере. Для того, чтобы изобразить любое число от 000 до 999 в 10-й системе потребуется набор из 30 литер (по одному комплекту от 0-9 для каждого разряда). А в 2-й системе с помощью 30 литер можно записать число 215, т.к на каждый разряд надо всего 2 цифры. => с помощью 30 литер можно записать число из 15 разрядов. Но 215 = 32*1024, т.е. более чем в 32 раза больше 1000.
В общем случае,
если взять число литер n,
а основание системы счисления x,
то можно записать число
Самостоятельно доказать, что max этой функции равен e.
Т.о. наиболее экономичной системой счисления является система с основанием е=2,71828..., находящимся между числами 2 и 3.
График
Троичная система ближе к оптимальной, чем двоичная, и, тем не менее, во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено более простой технической реализацией устройств, имеющих (и умеющих различать) 2 состояния, чем устройств на 3 состояния. Действительно, 2 положения это
есть ток/нет тока
положительная/отрицательная намагниченность и т.п.
Для реализации устройств на 3 состояния может понадобиться каскад из 2-х устройств на 2 состояния, что сведет на нет все преимущества 3-й системы.
При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:
двоичная система - {0,1};
десятичная система, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0, 1,...,9}2 – в последнее время практически не используется;
шестнадцатеричная система - {0,1,2, ...9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10,В-число 11, ...,F-число 15;
восьмеричная система (от слова восьмерик) - {0,1,2,3,4,5, б, 7}.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 24 и 8 = 23. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.
Перевод чисел из одной системы в другую
Универсальный способ перевода основывается на определении записи числа в позиционной системе счисления (см формулу 2.1).
Пример. Переведем 1257 в 10-ю систему.
1257 = 1*72 + 2*7 + 5 = 49+14 + 5 = 68
А теперь 12510 в 7-ю
1010 = 137 => 12510 = 1*(137)2 + 2*137 +5 =
|
1 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
0 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
6 |
|
4 |
2 |
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
5 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
6 |
2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видите, в первом случае все прозрачно, и мы все время работаем в привычной 10-й арифметике. Во втором – все работает, но даже элементарные операции требуют существенных умственных усилий. Поэтому для перевода числа из 10-й в p-ю систему удобнее другой способ, позволяющий получить p-е представление, используя только 10-ю арифметику.
1 |
2 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1 |
7 |
|
7 |
|
|
5 |
5 |
|
1 |
4 |
|
2 |
|
|
4 |
9 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
Теперь читаем остатки справа – налево 236. Т.о. 12510 = 2367.
Доказать самостоятельно.