1.5.2 Методы решения задач нестационарной теплопроводности

Имеются различные методы решения уравнений теплопроводности, т. е. отыскания функции Т(х, t). В частности, среди аналитических методов широко распространены метод разделения переменных (метод Фурье), различные операционные методы, использующие те или иные интегральные преобразования, а также различные конечно-разностные методы, позволяющие осуществлять численное решение уравнений, используя цифровые вычислительные машины. Кроме того, эти уравнения можно решить путём использования математической аналогии между процессами теплопроводности и процессами другой физической природы, описываемыми теми же по форме дифференциальными уравнениями. Эти решения получают с помощью различных аналоговых устройств.

Из указанных выше аналитических методов воспользуемся Методом разделения переменных в связи с его простотой, наглядностью и достаточной универсальностью.

В соответствии с этим методом решение уравнения (1.32) ищется в виде произведения двух функций Т(х, t) = Ф(х) П(t), одна из которых, Ф, зависит только от пространственной координаты х, а другая, П — только от времени t.

Подставляя это выражение в уравнение (1.32) и разделяя переменные, получим

. (1.33)

В левой части этого равенства стоит выражение, зависящее только t, а в правой — только от х. Известно, что две функции от двух разных и не зависящих друг от друга аргументов могут быть равны при любых значениях последних только в том случае, если они постоянны. Обозначим эту постоянную величину — . Тогда получаем вместо одного дифференциального уравнении в частных производных (1.32) два обыкновенных дифференциальных уравнения для определения функций Ф(х) и П(t) (в этой и заключается идея метода разделения переменных): .

Решения этих уравнений известны и имеют, соответственно, следующий вид:

; ,

где С₁ С₂, С₃ и k — произвольные постоянные.

Таким образом, получаем

,

или, обозначая и ,

(1.34)

В таком виде надо искать решение уравнения (1.32). Термин «искать решение» означает необходимость определения произвольных констант С, D и k из краевых (т. е. из начальных и граничных) условий.

Одна из этих констант, а именно D, определяется сразу и следующих простых соображений. В связи с тем, что рассматриваем лишь симметричные задачи (т.е. задачи с симметричными граничными условиями), распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени также должно быть симметричным относительно плоскости yOz. Это означает, что искомая функция Т(х,t) должна быть четной функцией координаты х. Однако, входящая в решение (1.34) функция sin (kx) является нечетной, следовательно, D = 0 для любой симметричной задачи.

Таким образом, решение уравнения (1.32) будем искать в виде

. (1.35)

Произвольные константы k и С, входящие в это выражение определяются из граничных и начальных условий задачи.

1.5.3. Граничные условия третьего рода при постоянной температуре окружающей среды

Имеем неограниченную плоскую пластину толщиной , которая нагревается (либо охлаждается) за счет конвективной теплоотдачи от окружающей среды, имеющей постоянную температуру , к ее поверхностям (рис. 1.1). В начальный момент времени температура пластины, постоянная по ее толщине, равна . Процесс нагрева пластины протекает таким образом, что температура в любой ее точке возрастает, стремясь к температуре среды . При этом распределение температуры по сечению выравнивается, как это показано на рис. 1.1.

Рассмотрим математическую формулировку задачи. Для определения зависимости температуры от координаты и от времени , т.е. функции , имеем уравнение теплопроводности (1.33), краевыми условиями, для которого служат

(1.36)

в качестве начального условия и в соответствии с выражением , уравнение

(1.37)

в качестве граничного условия. Знак «плюс» перед левой частью соответствует условию на левой поверхности пластины , когда направление теплового потока совпадает с положительным направлением оси , знак «минус» — условию на правой поверхности , когда тепловой поток направлен в отрицательную сторону оси х.

Рис. 1.1. Нагрев плоской пластины при граничных условиях третьего рода

Введем избыточную температуру , выразив ее следующим образом: .

Для этой новой переменной математическая формулировка задачи имеет вид:

; (1.38)

; (1.39)

(1.40)

Знак в правой части уравнения граничного условия изменился на обратный в связи с тем, что .

Так как уравнение (1.38) для избыточной температуры имеет тот же вид, что и уравнение (1.33) для абсолютной температуры , решение будем искать в виде (1.35), т.е.

, (1.41)

где константы С и k определим из краевых условий (1.39) и (1.40).

Вначале используем граничное условие (1.40), например, на левой поверхности пластины . Подставляем решение (1.41) в уравнение (1.40) , откуда после сокращений получаем или, умножив числитель и знаменатель в правой части на ,

. (1.42)

Таким образом, получили уравнение, из которого можно найти одну из определяемых констант, а именно, . Однако из этого уравнения удобно находить не саму эту величину, а ее произведение на полутолщину пластины, которое мы обозначим и назовем характеристическим числом. Безразмерный комплекс . в знаменателе правой части уравнения (1.42) обозначим и назовем критерием Био. Физический смысл этой величины рассмотрим ниже, а сейчас заметим, что критерий Био является постоянной величиной и включает в себя важнейшие параметры задачи: коэффициент теплоотдачи, характерный геометрический размер тела и коэффициент теплопроводности материала тела.

Итак, уравнение, служащее для отыскания одной из констант (характеристического числа .) и называемое характеристическим уравнением, имеет с учетом введенных обозначений следующий вид

(1.42а)

Это уравнение является трансцендентным, а потому требует графического или численного решения для определения характеристического числа . Обозначим левую часть уравнения (1.31а) , а правую— и построим графики этих функций (рис. 1.2). Первый из этих графиков представляет собой котангенсоиду, являющуюся периодической функцией аргумента с периодом , а второй — прямую с угловым коэффициентом . Абсциссы точек пересечения этих графиков дают корни характеристического уравнения.

Рис 1.2. Графическое решение характеристического уравнения

Как видно из рис. 1.2, уравнение.(1.42а) имеет бесчисленное множество таких корней, т. е. имеется бесконечное множество значений характеристического числа (или константы ), удовлетворяющих уравнению (1.38) и граничному условию (1.40). Это означает, что имеется бесконечное множество частных решений уравнения (1.38) с граничным условием (1.40), сумма которых в связи с линейностью уравнения (1.38) является его общим решением:

(1.43)

Заметим, что характеристические числа в этом решении известны как корни характеристического уравнения (1.42а); причем каждое из них определяется только величиной критерия Био: .

Заметим также, что безразмерная величина , стоящая в показателе экспоненты, является величиной переменной (так как содержит одну из независимых переменных t), представляет собой, по существу, безразмерное время, называется числом Фурье и обозначается .

Таким образом, решение (1.43) можно записать в виде

, (1.43а)

где — безразмерная координата.

В решении (1.43) или (1.43а) неизвестными остаются лишь все значения константы . В связи с тем, что это решение должно удовлетворять не только граничному условию, но и начальному (1.39), определим из этого начального условия. Для этого полагаем в выражении (1.43а) (что означает ) и получаем выражение

, (1.44)

которое представляет собой разложение величины в ряд с заданными значениями , определяемыми уравнением (1.42а). Используя это уравнение, можно показать, что и (где — любое характеристическое число, выбранное из бесконечного множества ) являются ортогональными функциями, т. е.

при любом и лишь при этот интеграл является конечной величиной.

Это обстоятельство позволяет определить значения , для чего умножим обе части выражения (1.44) на и проинтегрируем по ; в пределах толщины пластины. В результате, меняя порядок суммирования и интегрирования (обе операции являются линейными), получим выражение

в правой части, которого все интегралы равны нулю, кроме одного, соответствующего случаю . Вследствие этого последнее выражение сводится к следующему:

Отсюда легко определить . Действительно, помня о том, что , получаем

;

,

Таким образом, получаем

, (1.45)

и решение (1.43а) принимает окончательный вид

(1.46)

Тем самым задача решена, т. е. можно найти значение избыточной , а значит, и абсолютной температуры в любой точке пластины в любой момент времени.

Заметим, что в полученном решении (1.46) независимые переменные фигурируют в безразмерном виде, т. е. роль координаты играет безразмерная величина , а роль времени - число Фурье . В связи с этим логично и искомую функцию, т. е. избыточную температуру представить также в без размерном виде. Для этого достаточно разделить обе части выражения (1.44) на начальную избыточную температуру , известную из условий задачи. В результате получаем решение в безразмерном виде:

, (1.47)

где — относительная (безразмерная) избыточная температура.

Таким образом, полученный результат (1.47) означает, что безразмерная избыточная температура является функцией критерия Био [так как ], числа Фурье (т. е. безразмерного времени) и безразмерной координаты:

, (1.48)

где Bi — параметр задачи; Fo и X — безразмерные независимые переменные. Термин «безразмерное время», относящийся к числу Фурье, означает, что для пластин различной толщины и с различными коэффициентами температуропроводности (но при одинаковых значениях критерия Био) температурные кривые, построенные в координатах , будут совпадать при равенстве чисел Фурье, т. е. не в одни и те же моменты времени, а в сходственные моменты времени, определяемые из условия равенства чисел Фурье.

Конкретный вид решения (1.47) получен для неограниченной плоской пластины, однако, принципиально в таком же виде т.е. в виде (1.46), получаются решения и для тел любой другой геометрической формы. При этом изменяется лишь смысл, вкладываемый в понятие «характерный размер тела». Например, если в случае плоской пластины и для симметричной задачи роль характерного размера играла полутолщина пластины, то в случае цилиндра и шара роль характерного размера играет радиус R. При этом числа Био и Фурье имеют вид: ; .

Заметим, что найти принципиальный вид (1.48) решения нестационарной задачи теплопроводности при граничных условиях третьего рода можно и не выполняя аналитического решения, путем анализа уравнения и краевых условий методами теории подобия.

Решение в виде (1.48), т. е. в виде зависимости от одного параметра и двух независимых переменных, дает возможность представить большое разнообразие решений в графическом виде. Действительно, было бы совершенно невозможно изобразить графически зависимость температуры от шести параметров и двух независимых переменных: .

Графики, построенные по аналитическим решениям задач нестационарной теплопроводности и существенно облегчающие расчеты, приведены в справочниках в виде зависимости относительной избыточной температуры (ось ординат) от числа Фурье (ось абсцисс). Для каждой кривой из семейства, представленного на таком графике, параметром является критерий Био. Графики построены отдельно для трех геометрических форм — пластины, бесконечно длинного цилиндра и шара, а также для двух значении безразмерной координаты (центр пластины, цилиндра, шара) и (поверхность пластины, цилиндра и шара). Графики для пластины и цилиндра приведены в Приложениях.

Прежде чем перейти к исследованию полученного решения (1.45), рассмотрим физический смысл критерия Био в задачах нестационарной теплопроводности. Для этого представим критерий Био в виде . В числителе этого выражения стоит коэффициент теплоотдачи , который характеризует интенсивность внешнего теплообмена, т. е. теплоотдачи от среды к поверхности тела (или наоборот). В знаменателе стоит величина отношения коэффициента теплопроводности к характерному размеру тела. Эта величина, как о том свидетельствует, например, формула (1.7) характеризует интенсивность внутреннего теплообмена между поверхностью тела и внутренними его слоями.

Таким образом, критерий Био представляет собой отношение параметров, характеризующих интенсивность процессов внешнего и внутреннего теплообмена.

С другой стороны, выражение для критерия Био может быть представлено в виде . Из этого выражения следует, что в соответствии с формулами и критерий Био представляет собой отношение внутреннего теплового сопротивления к наружному.

Обе эти формулировки позволяют заключить, что характер распределения температуры в объеме нагреваемого (или охлаждаемого) тела определяется величиной критерия Био. Чем больше эта величина, тем больше интенсивность внешнего теплообмена по сравнению с интенсивностью внутреннего, или что тоже, тем больше внутреннее тепловое сопротивление по сравнению с наружным. В связи с этим большим значениям критерия Био должна соответствовать меньшая равномерность распределения температуры в объеме тела. И наоборот, чем меньше величина критерия Био, тем равномернее распределена температура в объеме тела на протяжении всего периода нагрева (охлаждения), так как, например, подводимый к поверхности тепловой поток в этом случае весьма интенсивно отводится к внутренним слоям тела.

Для того, чтобы доказать справедливость только что высказанных заключений о влиянии критерия Био на процесс нагрева или охлаждения тела, при граничных условиях третьего рода, необходимо проанализировать полученное решение для плоской пластины, т.е. рассмотреть, к чему сводится это решение при очень малых значениях критерия Био и при очень больших его значениях .