1.4.5. Основные положения теории подобия
Основные положения теории подобия можно сформулировать в виде трёх теорем.
Первая теорема позволяет устанавливать связь между постоянными подобиями и выявить числа подобия. В общей форме теорема формулируется: подобные между собой явления имеют одинаковые числа подобия.
На основании второй теоремы подобия зависимость между переменными, характеризующими какой-либо процесс, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия:
Третья теорема подобия формулируется так: подобны те процессы, условия, однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности, должны иметь одинаковое численное значение.
На основании этой теоремы оказывается необходимым особо выделить числа подобия, составленные из величин, входящих в условие однозначности. Они называются определяющими или критериями подобия.
1.4.6.Критерии подобия. Понятие о теории подобия
Решение задачи конвективного теплообмена чаще всего даётся в критериальной формуле.
Число Пекле:
,
(1.25)
где
- плотность вещества; ср
- массовая изобарная теплоёмкость;
- скорость движения жидкости;
-
характерный размер;
-
коэффициент теплопроводимости.
Число Пекле дает сравнительную оценку интенсивности конвективного переноса и переноса путем теплопроводности:
.
(1.26)
Число Рейнольдса
,
(1.27)
где
- вязкость (силы трения); =/
- кинематическая вязкость.
Число Рейнольдса характеризует соотношение между силами инерции и силами вязкости в потоке, т.е. характеризует гидродинамическое состояние потока жидкости.
Число Прандтля
.
(1.28)
Число Прандтля представляет собой безразмерный комплексный теплофизический параметр вещества (капельной жидкости или газа).
Число Грасгофа
.
(1.29)
Число
Грасгоффа отражает соотношение между
силами вязкого трения и подъёмной силой,
где
коэффициент
объёмного расширения.
Число Релея
.
Числом Нуссельта
,
(1.30)
где - коэффициент теплоотдачи.
Число Нуссельта представляет собой безразмерный коэффициент теплоотдачи.
В соответствии с проведённым анализом учёные сделали вывод, что
уравнение для теплоотдачи при естественном движении жидкости имеет вид
;
уравнение для теплоотдачи при вынужденном движении жидкости имеет вид
.
1.5. Нестационарная теплопроводность
1.5.1. Теплопроводность при нестационарном режиме
Рассматривая нестационарные процессы теплопроводности, ограничимся, по необходимости, простейшими задачами. Более подробно этот вопрос рассмотрен в специальной литературе.
В частности, получим решения лишь для тела наиболее простой геометрической формы — неограниченной пластины конечной толщины.
Далее,
рассмотрим лишь симметричные задачи
нестационарной теплопроводности, т. е.
такие, когда граничные условия на обеих
поверхностях пластины одинаковы. Поэтому
начало координат расположим в осевой
плоскости пластины, толщину которой
будем считать равной
.
Во всех случаях в качестве начальных условий принимаем равномерное распределение температуры по толщине пластины в начальный момент времени t = 0.
При изучении задач нестационарной теплопроводности рассмотрим сначала задачу с граничными условиями третьего рода, как наиболее общий и наиболее часто встречающийся на практике случай. Действительно, в практике работы печей, например, чаще всего известны температуры теплоносителя или внешнего источника тепла, а также закон теплообмена между этой средой или источником и поверхностью нагреваемого (или охлаждаемого) материала. С другой стороны, как показано ниже, решение для граничных условий первого рода может быть получено как частный случай из решения для граничных условий третьего рода. Что же касается задачи с граничными условиями второго рода, то ее решение может быть сведено к задаче с граничными условиями первого рода.
В
случае нагрева и охлаждения пластины,
размеры которой в направлении осей
и
неограничены, а толщина в направлении
оси
конечна,
температура изменяется только по
толщине, так как
,
и уравнение теплопроводности без
внутренних источников тепла
(1.31)
принимает вид
,
(1.32)