1.5.8. Применение теории подобия для исследования задач нестационарной теплопроводности
Воспользуемся теперь методами теории подобия для того, чтобы найти принципиальный вид решений для процессов нестационарной теплопроводности в безразмерной - (критериальной) форме и выяснить условия подобия этих процессов.
С этой целью рассмотрим нестационарное температурное поле в твердом теле произвольной формы без внутренних источников тепла при граничных условиях третьего рода.
Процесс
переноса тепла в рассматриваемом случае
описывается
дифференциальным уравнением
теплопроводности (считаем,
что
)
.
(a)
Для того, чтобы это уравнение имело единственное решение, должны быть заданы условия однозначности, которые включают в себя форму и размеры тела, краевые условия в виде:
(б)
где
— координата,
отсчитываемая по нормали к поверхности
тела; индекс
означает, что
данная величина берется на поверхности
тела. Кроме этого в условия однозначности
входят все параметры задачи, т. е. все
постоянные величины, фигурирующие в
уравнении (а) и в краевых условиях (б), а
именно теплофизические параметры тела
и
,
коэффициент
теплоотдачи
,
начальная температура тела
и температура окружающей среды
.
Таким
образом, для тел одной и той же
геометрической формы, которые можно
характеризовать одним характерным
размером
,
решение
поставленной задачи, т. е. зависимость
температуры от всех аргументов и
параметров, должно иметь вид
.
Для
упрощения последующих операций введем
избыточную температуру
,
определив ее следующим образом
,
тогда математическая формулировка
задачи (а, б) примет вид
(в)
(г)
где
Воспользуемся
теперь методом масштабных преобразований
для приведения уравнения (в) и краевых
условий (г) к безразмерному виду. В
качестве масштабов приведения используем
следующие
величины: масштаб избыточной температуры
— начальное значение
этой величины
;
линейный масштаб — характерный размер
тела
;
в связи с тем, что в рассматриваемой
задаче отсутствует характерное значение
времени (время изменяется от (0 до
),
в качестве масштаба выбираем величину
,
имеющую
размерность времени.
Таким образом, безразмерные переменные принимают вид:
;
;
;
;
;
Как видим, полученное безразмерное время представляет собой критерий Фурье, который именно в таком качестве фигурировал в аналитических решениях задач нестационарной теплопроводности.
Выражая
теперь размерные переменные через
безразмерные и масштабы приведения,
,
,
,
,
,
,
и подставляя эти выражения в уравнение
(в) и краевые условия (г) получим:
;
;
,
откуда после сокращений будем иметь:
(1.68)
(1.69)
где
уже знакомый
критерий Био, характеризующий соотношение
интенсивности процесса внешнего
теплообмена окружающей среды с
поверхностью тела
и процесса переноса тепла внутри тела.
Уравнение (1.68) и краевые условия (1.69) составляют математическую формулировку задачи в безразмерном виде. В соответствии с этой формулировкой решение задачи (как аналитическое, так и экспериментальное) в критериальной форме должно иметь вид зависимости безразмерной избыточной температуры , называемой иногда температурным критерием (определяемый критерий) от безразмерных независимых переменных X, Y, Z, Fo и от безразмерного параметра Bi (определяющий критерий), т. е.
.
Именно в таком виде было получено выше аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности с граничными условиями третьего рода.
Таким образом, процессы нестационарной теплопроводности при этих граничных условиях являются подобными, если они протекают в геометрически подобных телах при равенстве критериев Био. Это означает, что значения безразмерной температуры для всех таких тел будут одинаковыми в сходственных точках с равными значениями безразмерных координат X, Y, Z в сходственные моменты времени, определяемые равенством значений безразмерного времени, т. е. критерия Фурье.