1.5.7. Регулярный тепловой режим

Физическая природа процессов нестационарной теплопроводности такова, что в случае неизменного теплового воздействия на поверхность тела ( = const, либо — const, либо = const) по истечении некоторого времени с начала процесса появляется некоторая, сохраняющаяся в дальнейшем регулярность в распределении температуры по объему тела и в изменении температуры в каждой точке тела во времени. При этом процесс теплопроводности перестает зависеть от начальных условий, т. е. наступает так называемый регулярный тепловой режим.

Это свойство рассматриваемых процессов должно найти отражение в полученных решениях (1.47), (1.53) и (1.58), которые исследуем с точки зрения изменения их структуры с течением времени.

При этом, как показано ниже, много общих черт имеет регулярный тепловой режим при граничных условиях третьего и первого рода, т. е. когда температурное поле стремится к равновесию. Существенные отличия от этих двух случаев характерны для регулярного теплового режима при граничных условиях второго рода. Поэтому рассмотрим отдельно регулярный режим при граничных условиях третьего (наиболее общий случай) и первого (частный случай предыдущего) рода и регулярный режим при граничных условиях второго рода.

а. Регулярный тепловой режим при граничных условиях третьего и первого рода.

Напомним, что при граничных условиях третьего рода полученное решение для плоской пластины имеет вид (1.47). В связи с тем, что каждое следующее характеристическое число больше предыдущего, (см. рис. 1.2), и так как стоит в квадрате в отрицательном показателе экспоненты, ряд в правой части (1.42) быстро сходится. Поскольку безразмерное время, т. е. число Фурье также фигурирует в отрицательном показателе экспоненты, ясно, что этот ряд сходится тем быстрее, чем больше величина Fo, т. е. чем больше времени прошло с начала процесса.

Практически уже при , сумма ряда равна его первому члену, и решение (1.47) принимает вид

, (1.59)

где определяется величиной критерия Био, т. е. , и, как было показано выше, при изменении Bi от нуля до бесконечности возрастает от нуля до , т. е. .

Таким образом, при наступает регулярный тепловой режим, который характеризуется тем, что температура в любой точке тела изменяется по закону простой экспоненты, а распределение температуры по объему тела и изменение её во времени не зависят от начальных условий.

Учитывая, что и обозначив , возьмем логарифм от выражения (1.59)

, (1.60)

т. е. на протяжении регулярного теплового режима логарифм относительной избыточной температуры в любой точке тела линейно меняется со временем. Постоянную скорость этого изменения обозначим очевидно

. (1.61)

Кроме того, дифференцируя выражение (1.49) по времени, получим

. (1.62)

Таким образом, величина представляет собой скорость изменения логарифма температуры во времени, или относительную скорость изменения температуры. Эта величина называется темпом нагрева (или охлаждения), она одинакова для всех точек тела и не изменяется во времени. Конкретный вид зависимости (1.62) получен для случая неограниченной плоской пластины, однако и во всех других случаях темп нагрева (охлаждения) тела зависит от первого характеристического числа, коэффициента температуропроводности, формы и характерного размера тела. Причем, поскольку характеристическое число при граничных условиях третьего рода является функцией только критерия Био, следовательно и темп нагрева (охлаждения) тела зависит от критерия Био . Понятно, что конкретный вид этой зависимости определяется геометрической формой тела и что с ростом критерия Био возрастает. Математически это следует из того факта, что с ростом критерия Био возрастает (см. рис. 1.2), а , как это следует, например, из формулы (1.62), пропорционально . Физически это также является очевидным, так как рост критерия Био означает возрастание относительной интенсивности внешнего теплообмена, что должно привести к повышению скорости нагрева (охлаждения) тела, т. е. к увеличению темпа нагрева (охлаждения) .

Итак, к перечисленным выше свойствам регулярного теплового режима при граничных условиях третьего рода можно добавить еще одно: темп нагрева (или охлаждения) в этом случае является функцией критерия Био.

Как указано ранее, граничные условия первого рода представляют, собой предельный случай граничных условий третьего рода при , и решение в этом случае имеет вид (5.23).

Здесь также , а потому ряд быстро сходится. Причем сходимость осуществляется тем быстрее, чем больше критерий Фурье. Так что при сумма ряда практически равна первому его члену, наступает регулярный режим, и решение принимает вид , а поскольку ,

. (1.63)

Логарифмируя (1.52), получаем

, (1.64)

т. е. температура в каждой точке тела меняется по экспоненциальному закону, а логарифм температуры — линейно. Эта постоянная скорость изменения логарифма температуры, или относительная скорость изменения температуры, которую обозначим (так как при этом ), как и ранее получаемая путем дифференцирования по времени решения (5.34) , выражается в случае плоской пластины следующим образом:

(1.65)

и называется темпом нагрева (охлаждения) при граничных условиях первого рода.

Таким образом, в этом случае темп нагрева (охлаждения) пропорционален коэффициенту температуропроводности, а коэффициент пропорциональности определяется формой и размерами тела и называется коэффициентом формы :

. (1.66)

В случае плоской пластины коэффициент формы, как это видно из уравнения (1.54), выражается как

;

а в случае шара с радиусом R

в случае параллелепипеда с ребрами

,

и, наконец, в случае цилиндра с радиусом R и длиной

.

Таким образом, регулярный тепловой режим при граничных условиях первого рода ( , практически ) принципиально отличается от предыдущего случая только тем, что темп нагрева (охлаждения) не зависит от критерия Био, а определяется только формой, размерами тела и его коэффициентом температуропроводности. Это и естественно, так как задача в этом случае является чисто внутренней, т. е. нагрев (охлаждение) тела лимитируется только внутренним теплообменом.

Рассмотренное свойство стремящихся к равновесию процессов нестационарной теплопроводности, которое заключается в наступлении на определенной стадии ( ) регулярного теплового режима, имеет большое значение как с точки зрения расчетов этих процессов, так и с точки зрения возможностей экспериментального определения различных теплофизических параметров.

Действительно, расчеты по формулам регулярного режима (1.59) и (1.63) неизмеримо проще расчетов по полным формулам (1.47) и (1.53).

С другой стороны, темп нагрева (охлаждения) весьма просто определяется экспериментально: для этого достаточно снять кривую изменения температуры в любой точке тела, представить ее в координатах и найти тангенс угла наклона соответствующей прямой к оси времени. Зная темп нагрева (охлаждения) при граничных условиях первого рода легко определить с помощью формул типа (1.66) коэффициент температуропроводности. Если определен темп нагрева (охлаждения) при граничных условиях третьего рода и известен коэффициент температуропроводности, можно найти с помощью формул типа (1.61) критерий Био, а значит — коэффициент теплопроводности (при известном коэффициенте теплоотдачи ), либо коэффициент теплоотдачи (при известном коэффициенте теплопроводности), так как .

б. Регулярный тепловой режим при граничных условиях второго рода.

Для случая граничных условий второго рода при полученное решение имеет вид (1.58а).

В связи с тем, что ряд в этом выражении быстро сходится, и при сумма его практически равна нулю, решение для регулярного теплового режима при этих граничных условиях имеет особенно простой вид:

. (1.67)

Выражение (1.67) означает, что температура в любой точке тела меняется во времени линейно, а распределение температуры по сечению на протяжении всего периода регулярного режима не меняется и имеет вид квадратичной параболы (см. рис.1.4).