Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце
Найти функцию u, удовлетворяющую уравнению внутри кольца.
Необходимо поставить краевые условия на каждой из границ:
где
-
заданные
функции,
- полярный
угол.
Для
простоты вычислений возьмем
и
,
тогда краевые условия примут вид
Из уравнения Лапласа в полярных координатах получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Необходимо определить знак .
В
уравнении Лапласа в круге мы выяснили,
что при
;
,
.
И
при
получили
,
.
Общее решение имеет вид
.
Удовлетворим краевым условиям. Необходимо выяснить, какие из коэффициентов являются лишними.
;
;
;
;
;
;
;
.
Итак, получили
Отсюда
– решение
задачи.
Уравнение Лапласа в прямоугольнике
Для решения уравнения Лапласа в прямоугольнике необходимо рассмотреть вспомогательную задачу.
Решим эту задачу методом разделения переменных. Будем искать решение в виде
.
Уравнение примет вид
.
Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
Определим знак .
1. Пусть , например . Рассмотрим уравнение
.
Характеристическое уравнение имеет вид
Получаем
– решение первого уравнения системы.
Рассмотрим уравнение
.
Характеристическое уравнение имеет вид
– решение
второго уравнения системы.
Таким образом,
.
Удовлетворим краевым условиям:
,
.
,
так как мы ищем ненулевые решения
уравнения, тогда
,
отсюда
.
.
Учитывая, что имеем
.
,
следовательно,
.
Это
возможно только при
,
но тогда мы получим решение уравнения,
равное постоянной, а это не удовлетворяет
краевым условиям задачи.
2. Пусть , например . Тогда решения системы уравнений имеют соответственно вид
;
.
Таким образом,
.
Удовлетворим краевым условиям:
.
,
следовательно,
.
.
Помня, что , имеем:
.
Так как при получим нулевое решение, то
.
Отсюда
Итак, получили решение
.
Подставим начальные условия:
.
Отсюда
;
.
Отсюда
.
Для
нахождения коэффициентов
и
необходимо
решить систему уравнений:
Подставив полученные коэффициенты, получим решение задачи.
Рассмотрим ненулевые краевые условия для уравнения Лапласа в прямоугольнике:
Решение
задачи будем искать в виде суммы двух
функций
.
Иными словами необходимо решить две
системы уравнений:
и
Первая
система уже решена. Для того, чтобы найти
решение второй системы, необходимо
просто заменить соответствующие буквы
и цифры в решении для
,
т.е.
.
Приложения
Практикум в среде matlab
Лабораторная работа № 1
Задача Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
В этой лабораторной работе мы рассмотрим некоторые приближенные методы решения задачи Коши, состоящей в отыскании решения y(x) дифференциального уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющего заданному начальному условию y(x0) = y0.
Задачу приближенного решения задачи Коши будем понимать как задачу построения на заданном отрезке [x0, b] функции φ(x), которая «близка» к решению y(x) задачи Коши с заданной точностью ε в том смысле, что |y(x)-φ(x)| ≤ ε (x0 ≤ x ≤ b).
1. Метод Эйлера.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения 1-го порядка:
Будем искать численное решение уравнения на отрезке [x0, b]. Зададим на этом отрезке сетку {xi, i = 0,1,…,N}, таким образом, чтобы x0<x1<...<xN = b. Введем обозначение для шага сетки hi = xi+1 – xi, i = 0,…N–1. Заменив производную в уравнении правой разностью, получим
Известно, что y0 = y(x0) = η. Откуда можно найти все остальные значения yi по рекуррентной формуле:
Данный метод нахождения численного решения называется методом Эйлера (или методом ломаных). Схемы, в которых значение функции явно выражается через уже найденные значения, называются явными, иначе – неявными. Таким образом, схема Эйлера является явной. Оценка погрешности для данного метода дает O(max(hi)), что предполагает малый шаг сетки для получения удовлетворительного решения.
На каждом из отрезков [xi, xi+1] полученное решение будет представлять собой отрезок прямой, проведенной через точку (xi, yi) с угловым коэффициентом f(xi, yi). Такая геометрическая интерпретация решения объясняет второе название метода (метод ломаных).
Пример П.1. Найти численное решение следующей задачи Коши на отрезке xϵ[0,1] методом Эйлера (на равномерной сетке с шагом h = 0.1) и сравнить его с аналитическим:
Реализуем метод Эйлера в виде файл-функции:
function [yy,xx]=euler(f,x0,y0,xe,h)
xx = x0:h:xe; % значения координат х для расчета
% выделяем память для значений функции:
yy = zeros(length(y0),length(xx));
yy(:,1) = y0; % начальное значение y
% последовательное вычисление значений в цикле
for i=1:length(xx)-1
yy(:,i+1) = yy(:,i) + h*f(xx(i),yy(:,i));
end
end
Нам понадобится также вспомогательный файл для функции в правой части уравнения:
function f = f(x,y)
f=x.^2;
end
С помощью созданных функций найдем решение задачи Коши:
>> [y,x]=euler(@f,0,1,1,0.1)
y =
1.0000 1.0000 1.0010 1.0050 1.0140 1.0300 1.0550 1.0910 1.1400 1.2040 1.2850
x =
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
Отобразим на графике полученное приближенное решение и точное решение, найденное аналитически (y = x3/3 + 1). На рис.П.1 сплошная кривая – аналитическое решение, пунктирная ломаная со звездочками – приближенное решение.
Рис.П.1. Точное и приближенное решения задачи Коши
Упражнение 1. Для выполнения упражнения выбрать задачу Коши для уравнения 1-го порядка в соответствии с номером компьютера (список вариантов приведен в конце лабораторной работы).
1) Найти решение задачи на отрезке xϵ[0,1] методом Эйлера, используя равномерную сетку с шагом h = 0.1.
2) Найти ошибку вычислений, как разность между точным решением задачи (можно найти вручную или в символьном виде с помощью функции dsolve) и полученным численным решением в каждой точке сетки. Определить погрешность решения, как максимум модуля ошибки вычислений.
3) Построить графики точного и численного решений (на одном рисунке) и график ошибки вычислений (на отдельном рисунке).
4) Повторить решение задачи для шага сетки h = 0.05. К графикам, построенным в пункте 3, добавить график нового численного решения и график соответствующей ему ошибки.