- •Предисловие
- •Глава 1. Дифференциальные уравнения в частных производных, их классификация и методы решения. Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения в частных производных
- •Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка
- •Понятие об общем решении уравнения в частных производных
- •Начальные и граничные условия
- •Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
- •Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка
- •Классификация уравнений второго порядка в частных производных
- •Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных
- •Использование метода сеток для решения параболических уравнений в частных производных
- •Использование метода сеток для решения гиперболических уравнений
- •Использование метода сеток для решения эллиптических уравнений
- •Глава 2. Уравнение колебания струны
- •Вывод уравнения колебания струны
- •Методы решения уравнения колебания струны
- •Метод Даламбера (метод бегущих волн) для бесконечной струны
- •Фазовая плоскость
- •Метод продолжений для полубесконечной струны
- •Метод продолжения для конечной струны (начальная и конечная точки жёстко закреплены)
- •Метод Фурье (метод стоячих волн) или метод разделения переменных
- •Упражнения
- •Глава 3. Решение уравнений теплопроводности и Лапласа методом Фурье
- •Вывод уравнения теплопроводности
- •Метод Фурье для конечного стержня
- •Упражнения.
- •Уравнение Лапласа
- •Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге
- •Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце
- •Уравнение Лапласа в прямоугольнике
- •Приложения
- •Практикум в среде matlab
- •Лабораторная работа № 1
- •Задача Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •1. Метод Эйлера.
- •2. Решение уравнений p-го порядка и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •3. Методы Рунге–Кутты.
- •4. Решение задачи Коши с помощью встроенных функций matlab.
- •Задания для выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Волновые уравнения
- •1. Задача Коши для неограниченной струны.
- •2. Задача Коши для полуограниченной струны. Метод продолжений.
- •3. Создание анимации средствами matlab.
- •4. Фазовая плоскость. Бегущие волны.
- •Индивидуальные задания
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
Предисловие
В настоящем пособии рассматриваются некоторые виды уравнений в частных производных и методы их решения.
Дифференциальные уравнения в частных производных, которые встречаются при решении физических задач, называют также уравнениями математической физики. К ним относятся волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение теплового состояния (уравнения Лапласа и Пуассона). Они впервые появились почти одновременно в работах Даниила Бернулли (1700 – 1782), Жана Лерона Даламбера (1717 – 1783) и Леонарда Эйлера (1707 – 1783), позднее — в работах Жана Батиста Фурье (1768 – 1830). Бернулли получил решение волнового уравнения в виде тригонометрического ряда, Даламбер и Эйлер представили решение в виде прямой и обратной волн, что и дало название уравнению. Фурье показал эквивалентность этих двух решений.
Нахождение точного аналитического решения дифференциальных уравнений в частных производных, к сожалению, возможно лишь для весьма ограниченного круга одномерных задач при использовании целого ряда допущений, негативно отражающихся на адекватности полученных результатов. Для решения задач математической физики в случае нескольких измерений необходимо использовать численные методы, позволяющие преобразовывать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Для решения полученных нелинейных систем алгебраических уравнений или линейных систем большой размерности используют итерационные методы. При этом одной из наиболее сложных проблем является обеспечение сходимости итерационного процесса, в значительной степени, определяющей время вычислений. Точность решения определяется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера. Рассмотренные методы решения уравнений в частных производных проиллюстрированы примерами для системы MATLAB.
Пособие содержит три главы. В главе 1 рассматриваются уравнения в частных производных, общее решение которых можно найти с помощью повторного интегрирования. Вводится понятие задачи Коши для уравнений 1-го и 2-го порядков и классификация уравнений 2-го порядка в частных производных. Представлены численные методы решения параболических, гиперболических и эллиптических дифференциальных уравнений с использованием пакета MATLAB.
В главе 2 представлены классические методы решения уравнения свободных колебаний струны: метод Даламбера для бесконечной струны, метод продолжений для полубесконечной и конечной струны, а также метод Фурье (метод разделения переменных) для конечной струны, закрепленной на концах.
В главе 3 рассматривается метод Фурье для уравнения распространения тепла в однородном стержне и уравнения Лапласа в случае некоторых простейших областей (круг, кольцо, прямоугольник).
Теоретический материал проиллюстрирован примерами, в которых используется статичная и анимационная графика, выполненная в среде MATLAB.
Кроме того, в пособии приведены лабораторные работы и индивидуальные задачи для выполнения на персональных компьютерах в системе MATLAB.