Додаток 2 Відсутність парної симетрії імпульсної реакції як ознака перекручувань фчх

Обґрунтуємо наступне твердження: якщо імпульсна реакція лінійної системи не має парної симетрії відносно якої-небудь вертикальної осі, то її ФЧХ не є прямою лінією, тобто дана лінійна система вносить фазочастотні перекручування.

Доведення. Припустимо протилежне: передатна функція лінійної системи, що не має парносиметричної імпульсної реакції , має вигляд

(П. 2.1)

де , . He зменшуючи загальності, можна вважати , тому що перехід від передатної функції до передатної функції

(П. 2.2)

приводить, у силу теореми запізнювання (властивість 4, §1.2), до зсуву в часі імпульсної реакції на час без зміни її форми; іншими словами, якщо передатійї функції (П. 2.1) відповідає імпульсна реакція , те передатній функції (П.2.2) відповідає імпульсна реакція

.

Покажемо, що, усупереч зробленому припущенню, має парну симетрію і виконується

(П. 2.3)

Запишемо представлення через відповідну передатну функцію (П.2.2):

(П. 2.4)

У силу формули Ейлера, , так що з (П.2.4) випливає

(П. 2.5)

Другий інтеграл у (П. 2.5) дорівнює нулю при будь-якому значенні . Дійсно, підінтегральний вираз тут є непарною функцією частоти (він дорівнює добутку парної АЧХ на непарну функцію ), а інтеграл береться в симетричних межах. Тому

У силу парності косинусоїди,

,

що і доводить рівність (П. 2.3), а разом з нею і висловлене вище твердження.

Зауваження П. 2.1. Зворотне доведеному твердження в загальному випадку невірне: парносиметричну імпульсну реакцію мають системи, ФЧХ яких може бути представлена сумою лінійної (неспотворюючої) і кусково-постійної (спотворюючої) фазочастотних характеристик, причому в кусково-постійному компоненті можливі стрибки лише на 180°. Ілюстрацією цього положення, як неважко перевірити, може служити лінійна система з імпульсною реакцією

(точка є центром симетрії цієї імпульсної реакції).

Зауваження П. 2.2. Можна довести існування і більш загальної закономірності: якщо реакція лінійної системи на довільний парний сигнал не має парної симетрії, то дана лінійна система вносить фазочастотні перекручування.

Додаток 3 Вплив перекручувань фчх на максимальне по абсолютній величині значення імпульсної реакції

Позначимо максимальне по абсолютній величині значення імпульсної реакції , , через . Припустимо спершу, що відповідна передатна функція має нульову ФЧХ: , тобто

. (П. 3.1)

У цьому випадку, як легко перевірити , тобто

. (П. 3.2)

Дійсно, оскільки модуль інтеграла менше або дорівнює інтегралу від модуля підінтегрального виразу,

Ми довели, таким чином, що ^

Тепер ми можемо сформулювати і довести наступний важливий факт: поява довільних фазочастотних перекручувань, тобто перетворення передатної функції (П. 3.1) у передатну функцію , де - довільна ФЧХ, не може привести до збільшення максимального по абсолютній величині значення імпульсної реакції ; у загальному ж випадку відбувається зменшення величини .

Доведення приведеного твердження полягає в наступному. Насамперед зауважимо, що — максимальне по абсолютній величині значення імпульсної реакції лінійної системи з фазочастотними перекручуваннями

може в принципі досягатися в довільній кінцевій точці часової осі Однак, не зменшуючи загальності, припустимо вважати, що при заданій АЧХ максимальне значення (максимум знаходиться перебором усіх варіантів і всіх скінченних моментів часу ) досягається в точці . Дійсно, якщо припустити, що , то домноження передатної функції на , тобто перехід до передатної функції приводить, у силу згадуваної вище теореми запізнювання, до імпульсної реакції , максимум модуля якої змістився на час і потрапив у нульовий момент часу.

Перейдемо до оцінювання зверху цікавлячої нас величини . Міркуючи аналогічно тому, як це було зроблено при доведенні нерівності (П. 3.2), знаходимо

(П. 3.3)

Таким чином, .

Зауваження П. 3.1. Нестрога нерівність (П. 3.3) може перейти в рівність лише за умови

. (П. 3.4)

Якщо вважати, що , то, очевидно, виконання (П. 3.4) можливо лише при в точках , де .