5.2. Оптимальний вибір коефіцієнтів передатних функцій цф

Центральним питанням проектування цифрових фільтрів є оптимальний вибір коефіцієнтів , якщо мова йде про КИХ-фільтр, чи коефіцієнтів у випадку БИХ-фільтру. Зупинимося тільки на відносно простому випадку нерекурсивної фільтрації (див. рис. 5.6).

Звичайно в задачі проектування ЦФ вказаний деякий діапазон (множина) частот — позначимо його через — на якому задається «ідеальна» передатна функція . У випадку застосування середньоквадратичного критерію точності синтезу ЦФ (чи, як ми говорили в главі 2, середньоквадратичної похибки) коефіцієнти , у формулі (5.5) визначають з умови мінімуму виразу

(5.7)

де для спрощення уведене позначення .

Вираз (5.7) нагадує вивчену нами в §2.1 середньоквадратичну похибку коректування; однак розглянута тут ситуація є простішою: коректуємий канал відсутній. Іншими словами, при проектуванні цифрових фільтрів за критерієм мінімуму середньоквадратичної похибки можна використовувати всі результати, отримані в теорії корекції, вважаючи передатну функцію каналу рівній одиниці.

Зауваження 5.1. Якщо множина частот Р збігається з проміжком — інтервалом ортогональності функцій ,то мінімізуючі похибку (5.7) коефіцієнти можуть бути знайдені як коефіцієнти Фур'є функції G_ид(e^ikT) [18, 19]

Якщо множина Р не збігається з інтервалом ортогональності розглянутих експонентних функцій, то аналітичне вирішення задачі затруднене і слід скористатися якою-небудь з чисельних процедур глави 4. З ряду причин, однак, найчастіше ЦФ проектують, спираючись на чебишевський критерій точності синтезу; при цьому коефіцієнти знаходять з умови мінімуму наступного виразу:

(5.8)

Критерій (5.8) називають мінімаксним. У силу цього критерію, слід мінімізувати максимум (на множині точок Р) зваженого з невід’ємною ваговою функцією модуля відхилення передатної функції ЦФ від заданої функції G_ид(e^ikT).

Мовою теорії передачі сигналів критерій (5.8) можна інтерпретувати в такий спосіб. Якщо аргумент умовно вважати часом і для простоти вагу покласти рівною одиниці, то число (5.8) є пікове значення узятого по абсолютній величині різницевого сигналу, одержаного відніманням з «сигналу» G_ид(e^ikT) «сигналу» .

Для відшукання мінімуму (5.8) методи, викладені в главі 2, неефективні, тому що функціональна залежність величини (5.8) від незалежних змінних виявляється поверхнею зі зламами; лінії рівня такої поверхні показані на рис. 4.6,в. Гарні результати з рішення даної задачі забезпечують методи лінійного програмування, однак найбільшу ефективність серед відомих методів відшукання чебишевських наближень має спеціально розроблений для подібних ситуацій алгоритм радянського математика Е. Я. Ремеза, програмне забезпечення якого є в монографії [18].

Додаток 1 Залежність тривалості фронту від верхньої частоти смуги пропущення

Відомо [5], що перехідна характеристика і її похідна — імпульсна реакція «ідеального» фільтру нижніх частот (див. рис. 1.12) мають вигляд

де — верхня частота смуги пропущення «ідеального» фільтру. Графіки і приведені на рис. П. 1.1.

Фронтом перехідної характеристики є (практично прямолінійний) відрізок кривої , що з'єднує точки А и В (рис. П. 1.1,б). Зважаючи на цю «прямолінійність», розглянемо трикутник з вершинами А, В і С. Протилежний до кута катет має одиничну довжину, тому що таке стале значення перехідної характеристики «ідеального» фільтра , довжина прилежного катету дорівнює (по визначенню) тривалості фронту . Отже,

(П. 1.1)

Рис. П.1.1

З іншого боку, дорівнює похідній функції в точці (це справедливо в припущенні згадуваної вище лінійності ). Таким чином,

(П. 1.2)

Зіставивши (П. 1.1) і (П. 1.2), знаходимо