5. Застосування оптимізації в задачах синтезу цифрових фільтрів

5.1. Елементарні відомості про цифрову фільтрацію

Цифрові фільтри по своїй сутності є спеціалізованими обчислювальними пристроями, що вирішують традиційні задачі фільтрації сигналів за допомогою методів і засобів обчислювальної математики й обчислювальної техніки. Оскільки цифрові обчислювальні пристрої довільного призначення здатні сприймати й обробляти інформацію лише в дискретні, віддалені один від одного на цілком визначену дистанцію, моменти часу (позначимо їх так: ), то і цифрові фільтри мають цю особливість.

Практично цифрова фільтрація аналогових сигналів (функцій неперервного часу ) здійснюється у відповідності зі структурною схемою рис. 5.1. Аналоговий сигнал надходить на вхід аналого-цифрового перетворювача (АЦП), на виході якого з'являються узяті відповідно до теореми Котельникова (§1.2, властивість 5) відліки ; при цьому інтервал дискретизації вибирається меншим чи рівним величині , де - верхня частота в спектрі сигналу (рис. 5.2). На практиці АЦП видає відліки , у цифровій формі, тобто у вигляді комбінацій двійкового коду, так що кожна комбінація цього коду є представленням відповідного відліку в двійковій системі числення. Точність такого опису дискретних відліков сигналу залежить від числа розрядів у кодових комбінаціях і, в принципі, може бути зроблена як завгодно високою. Саме тому надалі ми будемо нехтувати ефектами, викликаними збереженням лише скінченного числа розрядів у кодованому запису відліков . Це скорочене представлення відлікових значень аналогового сигналу здійснюється в АЦП за допомогою операцій квантування або округлення [18, 19].

Рис. 5.1

Послідовність відліков з виходу АЦП надходить на вхід цифрового фільтра (ЦФ), що по заданому алгоритму «перераховує» її в послідовність вихідних відліков , придушуючи чи підсилюючи при цьому ті або інші частотні компоненти сигналу . Зрозуміло, вихідна послідовність відліков ЦФ , також являє собою послідовність кодових комбінацій двійкового коду. По цих комбінаціях цифро-аналоговий перетворювач (ЦАП) відновлює імпульси прямокутної форми, чия амплітуда в точності дорівнює записаним у двійковій системі числення значенням . Аналоговий сигнал знаходять по його відлікам за допомогою фільтра - інтерполятора, що приблизно реалізує співвідно -шення з теореми Котельникова - формулу (1.15), що відновлює смуговообмежений сигнал по його відлікам. Штрихова лінія на рис. 5.1 поєднує ЦАП і інтерполятор в один вузол, що здійснює перетворення кодових комбінацій у відфільтрований аналоговий сигнал .

Якщо операції, виконувані АЦП, ЦАП і фільтром-інтерполятором, є багато в чому стандартними і не залежними від призначення і властивостей цифрового фільтру, то сам ЦФ, точніше, його характеристики і параметри, в значній мірі визначаються конкретною задачею фільтрації, що вирішує даний ЦФ.

Які ж принципи побудови цього найбільш «інтелектуального» блоку схеми рис. 5.1?

Як відомо, теорія лінійних систем з дискретним часом подібна^ теорії лінійних аналогових систем, елементи якої були приведені в §1.3. Для дискретних стаціонарних (тобто не змінюючих з часом своїх характеристик) систем уводиться поняття імпульсної реакції (часто говорять: імпульсної характеристики), що являє собою відгук (рис. 5.3) на вхідний вплив вигляду

показаний на рис. 5.4 і граючий роль - функції в теорії лінійних дискретних систем.

Розглянемо для спрощення вхідний сигнал цифрового фільтру у вигляді скінченної послідовності відліков

(5.2)

Зауважимо, що m - й член послідовності відліков (5.2) - рівно в разів більше (чи менше) сигналу (5.1); крім того, він запізнюється на секунд у порівнянні із сигналом рис. 5.4. Отже, при подачі на вхід лінійного цифрового фільтру такого сигналу, на його виході одержимо відгук

(5.3)

де , — імпульсна реакція розглянутого фільтра. При подачі ж на вхід цього ЦФ усієї послідовності (5.2) одержимо, спираючись, як і раніше, на визначення лінійності 1.3, вихідний сигнал у вигляді суми відгуків типу (5.3):

(5.4)

Співвідношення (5.4), що є дискретним аналогом рівності (1.17), називають дискретною згорткою. Важливість його полягає в тім, що, як випливає з (5.4), довільна лінійна стаціонарна обробка сигналів може бути виконана в цифровій формі за допомогою наступних відносно простих операцій: зміщень, множень і додавань. Порядок, у якому повинні виконуватися ці операції, роз'яснює рис. 5.5, на якому показано «проходження» сигналу , що має три відмінні від нуля відліки (1-й рядок рис. 5.5), через ЦФ з імпульсною реакцією , із двома ненульовими відліками (2-й рядок рис. 5.5). 3-й, 4-й і 5-й рядки даного рисунку отримані відповідно до формули (5.3), а на 6-му рядку розташувався вихідний сигнал ЦФ , що визначається як сума дискретних сигналів рядків під номерами 3, 4 і 5.

Істотно, що для переходу від одного типу фільтра до іншого, скажемо від ФНЧ до ФВЧ, слід змінити числа g(0), g(T), …, що зберігаються в пам'яті процесора, на інші відповідним чином розраховані значення.

У великому числі виникаючих на практиці ситуацій необхідна імпульсна реакція (характеристика) має cкінченне число не рівних нулю відліков Фільтри такого типу називають КИХ-фильтрами. На противагу цьому, фільтри, чиї імпульсні характеристики мають нескінченне число ненульових відліков, називають БИХ-фильтрами.

Рис. 5.5

Зрозуміло, значення нескінченного числа відліков не можуть бути введені в цифрову пам'ять безпосередньо, у цьому випадку в пам'ять записують скінченне число параметрів, непрямим шляхом реалізуючих нескінченну імпульсну характеристику.

Останнє міркування підвело нас упритул до питання: як реалізується алгоритм цифрової фільтрації? Ми не станемо розглядати виникаючі тут проблеми і способи їхнього вирішення докладно: даній темі присвячені численні дослідження останніх двох десятиліть, у результаті чого досягнуті вражаючі результати по застосуванню ЦФ. Намітимо лише два основних напрямки.

Рис. 5.6

Легко перевірити, що структурна схема рисунка 5.6 відповідає алгоритму дискретної згортки (5.4) при скінченній довжині імпульсної характеристики (число її відмінних від нуля відліков дорівнює ). Квадрати з вміщеною в них буквою є комірками пам'яті, у яких здійснюється затримка на час , а рівнобедрений трикутник із літерним виразом , що стоїть поряд, символізує операцію множення на числа надхожуваного з відповідної комірки пам'яті відліку вхідного сигналу. Можна сказати, таким чином, що на рис. 5.6 представлена структурна схема алгоритму КИХ-фільтрації. Для її реалізації необхідний регістр зміщення, утворений каскадним з'єднанням комірок пам'яті (квадратів з літерою ), умножник і суматор. Названі функціональні вузли допускають просту реалізацію на мікропроцесорах різного типу.

При порівнянні рис. 5.6 і 2.7 виявляється збіг структур гармонічного синтезатора і КИХ-фільтра. Звідси випливає, що, незважаючи на розбіжності, пов'язані з виглядом оброблюваних сигналів (сигнали неперервного або дискретного часу) чи способом реалізації (аналогові затримуючі ланцюги і підсилювачі, з одного боку, і елементи дискретної техніки різного ступеня інтеграції аж до мікропроцесора - з іншого), обидві розглянуті схеми мають, може, з точністю до постійного множника, передатну функцію одного й того ж вигляду

(5.5)

Формула (5.5) записана стосовно до випадку обробки дискретного сигналу за допомогою ЦФ. Щоб підкреслити цю обставину, як аргумент передатної функції пишуть експоненту , а не просто частоту , як це має місце в передатній функції гармонічного синтезатора (2.19).

Перейдемо до побудови БИХ - фільтрів. Структурну схему БИХ - фільтра можна одержати, якщо в схему рис. 5.6 увести зворотні зв'язки, як це показано на рис. 5.7^. Можна показати, що передатна функція БИХ - фільтра має вигляд

(5.6)

Якщо розірвати всі зворотні зв'язки рис. 5.7 (при цьому слід покласти ) то, з одного боку, схема рис. 5.7 перетвориться в схему рис. 5.6, а з іншого боку - дрібно-раціональна передатна функція (5.6) перетвориться в багаточленний вираз типу (5.5):

Рис. 5.7

Які достоїнства і недоліки ЦФ, побудованих по конкуруючих схемах рис. 5.6 і 5.7?

Головні особливості порівнюваних варіантів такі: БИХ - фільтр відносно невеликого порядку дозволяє реалізувати високовибіркову фільтрацію з загасанням приблизно 70...85 дБ у смузі затримування при практично довільному співвідношенні смуг затримування і пропущення і смузі розфільтровки, рівній приблизно 30% від смуги пропущення (смуга розфільтровки розташовується між смугою пропущення і смугою затримування). Застосування КИХ-фильтру для вирішення цієї ж задачі може вимагати, щоб число відводів М у регістрі зміщення на рис. 5.6 досягало багатьох десятків і навіть сотень, причому це число, як показали численні дослідження і розрахунки, пропорційно відношенню смуг затримування і пропущення [19].

Разом з тим БИХ-фільтри мають і істотний недолік: на противагу ЦФ із скінченною імпульсною характеристикою, вони мають завдяки зворотним зв'язкам схильність до самозбудження і виявляються дуже чутливими до округлень результатів арифметичних операцій. У цьому зв'язку процесор, що реалізує БИХ-фільтр, повинен надавати більше двійкових розрядів для представлення чисел, ніж аналогічний процесор, призначений для КИХ-фільтрації.

Зазначені особливості КИХ- і БИХ-фільтрів обумовлюють їхню конкуренцію і співіснування в сучасній цифровій обробці сигналів.