3.3. Чисельні методи відшукання екстремумів
(основні ітераційні процедури)
Розглянемо спочатку перший етап пошуку екстремуму унімодальної функції . На цьому етапі звичайно, якщо немає якої-небудь апріорної інформації про місце розташування екстремальної точки (а саме така ситуація буде надалі вивчатися), спочатку вибирають довільним образом вихідну точку, а потім на основі правил виключення інтервалів будують відносно широкий інтервал, що містить точку екстремуму. При цьому, як правило, пошук граничних точок такого інтервалу проводиться за допомогою евристичних методів, вибір яких визначається досвідом і інтуїцією дослідника.
Відповідно до одного з таких методів пошуку максимуму, (k+1)-а пробна точка, тобто точка осі абсцис, у якій обчислюється значення цільової функції , визначається за рекурентною формулою
(3.4)
де - довільним чином обрана початкова точка, — величина кроку, що підбирається деяким способом. Знак визначається шляхом порівняння значень , і . Якщо
(3.5)
то, відповідно до припущення про унімодальність і першого правила виключення інтервалів, точка максимуму повинна розташовуватися правіше точки і величина вибирається позитивною.
Якщо замість (3.5) виконуються нерівності протилежного змісту, тобто
(З.6)
то, у відповідності з другим правилом виключення інтервалів, точка максимуму лежить левіше і знак повинен бути від’ємним. Якщо ж має місце
(3.7)
то точка максимуму лежить між і і пошук граничних точок завершений. Аналогічна ситуація виникає, коли які-небудь два з трьох чисел , і дорівнюють одне одному. В силу зауваження 3.3, абсциси, що відповідають цим двом рівним ординатам, є шуканими граничними точками початкового інтервалу невизначеності.
Випадок, коли
(3.8)
суперечить припущенню про унімодальність. Виконання цієї умови свідчить про те, що функція не є унімодальною і поставлена задача оптимізації не коректна.
Обчислення функції в пробних точках відповідно до співвідношення (3.4), продовжується доти, поки, спираючись на правила виключення інтервалів, не вдається відкинути деякі області осі абсцис, що знаходяться левіше і правіше екстремальної точки, і тим самим встановити границі інтервалу, у якому дійсно реалізується екстремум.
Приклад [28]. Розглянемо задачу максимізації функції при заданій початковій точці і величині кроку . Графік цієї функції приведений на рис. 3.11, вона унімодальна, причому єдиний її максимум розташований у точці .
Знайдемо відповідно до описаної вище процедури інтервал осі абсцис, який містить точку , для чого, по-перше, визначимо знак на основі порівняння значень
Оскільки в даному випадку виконується умова (3.5) (дійсно,
-5625 <-4900 <-4225), то величина повинна бути позитивною, а значення повинне перевищувати величину .
Отже,
Далі знаходимо
На підставі першого правила виключення інтервалів вважаємо, що .
Аналогічно,
звідки .
Далі
звідки .
Переходимо до п'ятої пробної точки:
Тепер на підставі другого правила виключення інтервалів з нерівності виводимо, що .
Таким чином, шість пробних обчислень функції дозволили виявити початковий (для наступного пошуку максимуму) інтервал невизначеності
,
чим і завершується перший етап пошуку.
Зауваження 3.4. Ефективність пошуку граничних точок, що вимірюється числом необхідних обчислень , тобто проб, безпосередньо залежить від величини кроку . Якщо число велике, то оцінка координат граничних точок виходить дуже грубою, а побудований інтервал невизначеності надто широким. З іншого боку, якщо число мале, для визначення граничних точок може знадобитися значний обсяг обчислень, зв'язаних з перебором великого числа пробних точок.
Перейдемо до розгляду другого етапу пошуку екстремуму.
Після того, як встановлені границі інтервалу, що містить точку екстремуму, доцільно застосувати більш складну процедуру зменшення інтервалу пошуку (інтервалу невизначеності) з метою одержання уточнених оцінок координати екстремуму. Величина інтервалу, що виключається, залежить від розташування пробних точок всередині інтервалу пошуку. Оскільки місцезнаходження точки екстремуму заздалегідь не відоме, розумно припустити, що розміщення пробних точок повинне забезпечувати на кожній періодично повторюваній процедурі зменшення інтервалу, як ще говорять, ітерації, скорочення його довжини в тому самому відношенні. Крім того, з метою підвищення ефективності алгоритму необхідно поставити вимогу, щоб зазначене скорочення було максимальним. Подібну стратегію називають мінімаксною стратегією пошуку. Мета мінімаксної стратегії — гарантувати на кожній ітерації максимально можливе зменшення довжини інтервалу невизначеності при самому несприятливому розташуванні екстремуму всередині цього інтервалу. Приведемо приклади мінімаксної стратегії пошуку.