Метод поділу інтервалу навпіл.

Розглядаємий метод дозволяє виключати в точності половину інтервалу на кожній ітерації. Іноді цей метод називають трьохточковим пошуком на рівних інтервалах, оскільки його реалізація заснована на виборі трьох пробних точок, рівномірно розподілених в інтервалі пошуку. Приведемо, додержуючись [28], опис основних кроків пошукової процедури, орієнтованої на перебування точки максимуму функції в інтервалі .

Приведені нижче п'ять кроків виконуються на кожній, слідуючій одна за другою ітерації процесу відшукання максимуму. Для спрощення ми нехтуємо рідким (але передбаченим зауваженням 3.3) випадком рівності порівнюваних значень функції .

Крок 1. Покласти і (рис. 3.12),

обчислити значення .

Крок 2. Покласти і (зазначимо, що точки і поділяють інтервал на чотири рівні частини). Обчислити значення і .

Крок 3. Порівняти і .

(1) Якщо виключити інтервал поклавши .

Середньою точкою нового інтервалу пошуку стає точка . Отже, необхідно покласти , а в якості лівої граничної точки зберегти її старе значення. Призначити значення . Перейти до кроку 5.

2. Якщо , перейти до кроку 4.

Крок 4. Порівняти і .

(1) Якщо , виключити інтервал , поклавши , а в якості правої граничної точки вибрати її старе значення. Оскільки середньою точкою нового інтервалу стає точка , покласти . Призначити значення . Перейти до кроку 5.

(2) Якщо , виключити інтервали і . Покласти і (при цьому продовжує залишатися середньою точкою нового інтервалу). Перейти до кроку 5.

Крок 5. Обчислити . Якщо величина L менше заданого , закінчити пошук. У іншому випадку повернутися до кроку 2.

Зауваження 3.5. На кожній ітерації алгоритму виключається в точності половина інтервалу пошуку. Тому після проведення т ітерацій довжина інтервалу невизначеності складе .

Зауваження 3.6. Середня точка послідовно одержуваних інтервалів завжди збігається з однією з пробних точок чи , знайдених на попередній ітерації. Отже, на кожній ітерації, крім першої, потрібно не більше двох обчислень значень функції.

Зауваження 3.7. Із зауважень 3.5 і 3.6 випливає наступне просте твердження: якщо проведене п обчислень функції , то довжина отриманого інтервалу невизначеності складає в методі розподілу інтервалу навпіл величини вихідного інтервалу. Дійсно, на першій ітерації функція обчислюється в трьох пробних точках, на всіх наступних — у двох. Оскільки кожна ітерація приводить до дворазового скорочення інтервалу невизначеності, то після проведення п обчислень (n — обов'язково непарне число) відношення довжин отриманого і вихідного інтервалів невизначеності складе, як легко перевірити,

Зауваження 3.8. Доведено [28], що серед методів пошуку екстремуму, що використовують дві, три, чотири і т.д. пробні точки на рівних інтервалах, не існує більш ефективного, ніж алгоритм розподілу інтервалу навпіл (трьохточковий пошук).