3.2. Чисельні методи відшукання екстремумів (основні положення)

Надалі функцію , екстремум якої повинен бути знайдений, будемо звати цільовою. У багатьох задачах практики цільова функція явно не задана, у зв'язку з чим ні сама функція, ні її перші похідні не можуть бути знайдені аналітичним шляхом. Ясно, що викладений вище підхід виявляється в даній ситуації зовсім непридатним. Разом з тим цілком реальне положення, коли можна робити експерименти (виміри), щоб визначити значення цільової функції, а іноді її перших і навіть других похідних.

Повернемося до проблеми корекції лінійних перекручувань.

Перед нами (рис. 3.7) передня панель коректора з регуляторами . Довільно обраному положенню регуляторів відповідають цілком визначені показання стрілочного приладу, що у точності виміряв значення прохибки коректування . Чи можна, відмовившись від незручного при роботі з апаратурою аналітичного дослідження, запропонувати яку-небудь процедуру обертання регуляторів коректора (зрозуміло, яка враховує показання приладу — вимірника ), що привела б до мінімуму ?

Відразу ж відзначимо, що такого типу потреба в експериментальних методах відшукання екстремумів виникає не тільки при оптимізації технічних процесів (настроювання коректора, керування хімічним реактором, підвищення ефективності пошуку корисних копалин оптимізацією стратегії буріння свердловин і т.д.), але й у чисто математичних дослідженнях на екстремум заданих аналітичним виразом функцій. Справді, досліджувана функція може бути недифференційованою чи (навіть при існуванні похідних) породжені необхідною умовою екстремуму (3.1) рівняння виявляються по тим чи іншим причинам нерозв'язними.

Зокрема, при мінімізації функції при великих (порядку багатьох десятків і більше ) вирішення системи лінійних рівнянь за правилом Крамера (тобто як відношення двох визначників) неефективне: операція обчислення визначників високого порядку виявляється дуже громіздкою і найчастіше дуже чутливою до округлень результатів арифметичних операцій. У цьому і подібному положеннях у математиці на зміну точним аналітичним методам (які, на жаль, при розрахунках у ряді випадків забезпечують дуже низьку точність) прийшли наближені методи оптимізації. Ці останні, хоча і не ставлять метою точне відшукання екстремальних точок, але дозволяють після проведення кінцевого числа так званих ітерацій наблизитися до правильних значень координат екстремумів з будь-якою заданою точністю.

Головним для даних методів оптимізації, що одержали назву ітераційних (іноді - чисельних [26...29]), є вирішення наступного питання: якщо не служить точкою екстремуму, то яка послідовність «кроків», що бере початок у точці , приведе в досить малий окіл екстремальної точки ?

Ми почнемо виклад методів послідовного наближення до екстремуму функції однієї змінної з одного важливого поняття.

Визначення 3.4. Функція називається унімодальною на інтервалі в тому і тільки в тому випадку, якщо вона має на цьому відрізку єдиний локальний екстремум. Іншими словами, якщо — точка локального (наприклад) мінімуму функції на інтервалі , то ця функція виявляється унімодальною тоді і тільки тоді, коли по обом бокам від цього мінімуму вона монотонно зростає, тобто з нерівності випливає, що (рис. 3.8,а), а з нерівності випливає, що (рис. 3.8,6).

Аналогічно, якщо — точка локального максимуму функції , то властивість унімодальності цієї функції еквівалентна тому, що з нерівності випливає нерівність , а з нерівності випливає, що . (Відповідні малюнки неважко виконати, якщо «перевернути» криві рис. 3.8 - точка мінімуму при цьому перейде в точку максимуму).

Зауваження 3.2. Точка локального максимуму (мінімуму) унімодальної функції є, очевидно , одночасно точкою глобального максимуму (мінімуму) цієї функції.

Підходи, що нижче викладаються, до відшукання екстремуму за допомогою проведення послідовності однотипних операцій одержали назву методів виключення інтервалів. В основі їх лежать наступні прості міркування.

Розглянемо функцію , що унимодальна на інтервалі , з максимумом у точці . Нехай точки і обрані таким чином, що .

Порівнюючи значення функції в точках і , можна зробити наступні очевидні висновки.

1. Якщо , то точка максимуму не лежить в інтервалі , тобто (рис. 3.9,а).

2. Якщо , то точка максимуму не лежить в інтервалі , тобто (рис. 3.9,6).

3ауваження 3.3. Якщо , то можна виключити обидва крайні інтервали і , точка екстремуму при цьому повинна належати інтервалу (рис. 3.10).

Аналогічні міркування можна висловити, якщо — точка мінімуму.

Твердження 1 і 2 (поряд із зауваженням 3.3) називають правилами виключення інтервалів. За допомогою цих правил можна побудувати процедуру пошуку, що дозволяє знайти точку екстремуму шляхом послідовного виключення частин вихідного обмеженого інтервалу^. Пошук завершується, коли підінтервал, що залишився зменшився до досить малих розмірів. Великим достоїнством пошукових методів такого роду є те, що вони засновані лише на обчисленні значень функції. При цьому не потрібно, щоб досліджувані функції були диференційованими, більш того, допустимі випадки, коли функцію не можна навіть записати в аналітичному вигляді. Єдиною вимогою є можливість визначення значень функції в заданих точках за допомогою прямих розрахунків чи імітаційних експериментів.

У процесі застосування розглянутих методів пошуку можна виділити два етапи:

1. Етап установлення меж інтервалу, на якому реалізується процедура пошуку (меж досить широкого інтервалу, що свідомо містить точку екстремуму).

2. Етап зменшення інтервалу, на якому реалізується скінчена послідовність перетворень вихідного інтервалу для того, щоб зменшити його довжину до заздалегідь установленої величини.

Надалі інтервал осі , що містить точку екстремуму , будемо звати інтервалом невизначеності. Останнім словом ми хочемо підкреслити ту обставину, що в процесі пошуку звичайно вдається установити нерівність

при тих чи інших значеннях меж інтервалу , але яка-небудь додаткова інформація про положення точки в інтервалі відсутня.

При використанні приведеної термінології можна сказати, що перший етап пошуку екстремуму зводиться до визначення деякого початкового інтервалу невизначеності, а другий — до планомірного його зменшення аж до заданої малої величини.

Перейдемо до вивчення процедур, застосовуваних на обох етапах.

1

_{Наприклад} = = cos ω₁t - i·sin ω₁t = _.

 Можна показати (див. зноску на стор. 86), що мінімальне по абсолютній величині значення імпульсної реакції системи з лінійною ФЧХ завжди додатне.

 Можна показати, що E[e(ω)] приймає рівні значення на інтервалах (- , 0) і (0, ).

 Нагадаємо наступні відомі властивості операції переходу до комплексно – сполученої величини: 1) ; 2) = X(ω).

^ Визначення поверхонь (ліній) рівня див. в зносці на стор. 59, на цій же сторінці і далі приводяться приклади ліній рівня.

 Точки осі абсцис, які задовольняють умові ≤ , утворюють так званий  - окіл точки .

 Словом «безумовний» ми підкреслюємо ту обставину, що ніякі додаткові вимоги, обмеження і т.п. на місцезнаходження екстремальної точки не висуваються. У подальшому (частина 2 цього учбового посібника) з’являться задачі оптимізації, де екстремальна точка повинна задовольняти деяким умовам. У цій ситуації екстремум буде зватися умовним.

 Ясно, що використання приведених правил виключення інтервалів для визначення, наприклад, глобального максимуму функції f(x), що не є унімодальною, яка покаана на рис. 3.2, не може гарантувати успіху.

36