3. Методи відшукання екстремумів функції однієї змінної

3.1. Необхідні і достатні умови екстремуму. Аналітичний метод відшукання екстремумів

Розглянута нами задача корекції лінійних перекручувань каналу зв'язку звелася, як і багато інших практичних задач, до відшукання екстремуму функції багатьох змінних (у даному випадку - ). Для того, щоб знаходити такі екстремумы, звернемося попередньо до оптимізації, тобто відшуканню максимумів і мінімумів, функції однієї перемінної , (читається: належить ). Тут — область визначення функції . Часто ця область є інтервалом: чи відрізком: .

Для визначеності будемо говорити не про екстремуми взагалі, тобто про максимуми і мінімуми, а, головним чином, про максимуми. Усе сказане про максимуми, однак, можна буде очевидним чином переформулювати для випадку мінімуму.

Визначення 3.1. Точка доставляє глобальний максимум функції на множині точок , якщо і для усіх (рис. 3.1,а).

Визначення 3.2. Точка доставляє строгий глобальний максимум функції на множині точок , якщо і для всіх , (рис. 3.1,б).

Часто виявляється корисним поняття локального максимуму.

Визначення 3.3. Точка доставляє локальний максимум функції на множині , якщо при деякому досить малому числі для всіх , , що задовольняють умові ^, виконана нерівність

.

Якщо остання нерівність є строгою, то говорять про строгий локальний максимум.

Усі визначення для мінімуму одержуються заміною знака на зворотний у приведених нерівностях для значень функцій.

Поняття локального екстремуму ілюструє рис. 3.2, на якому точки відповідають локальним максимумам, а точки - локальним мінімумам. Точка є одночасно координатою глобального мінімуму, а точка - глобального максимуму. За винятком точки , усі зазначені екстремуми є строгими.

Зауваження 3.1. Ясно, що не всякий локальний максимум (мінімум) є одночасно глобальним. Разом з тим, справедливо і таке твердження: не всякий глобальний максимум (мінімум) можна вважати також і локальним. Дійсно, якщо, наприклад, глобально максимальне значення функції досягається на правому краї відрізка

(рис. 3.3), то точку невірно розглядати як координату локального екстремуму, тому що її не можна оточити - околом (інтервалом ), цілком належним області визначення , яким би малим не було позитивне число .

Сформулюємо необхідну умову, що повинна виконуватися в точках локального екстремуму. Будемо припускати, що в околі екстремуму функція має неперервні похідні до другого порядку включно. Добре відомий результат [3, 4] формулюється в такий спосіб.

Теорема 3.1. Для того, щоб функція , визначена на дійсній осі, мала безумовний^ локальний екстремум у точці , необхідне виконання умови

. (3.1)

Точки області визначення , що задовольняють рівнянню (3.1), прийнято називати стаціонарними.

Приведемо геометричну інтерпретацію теореми 3.1. Насамперед нагадаємо, що похідна функції в довільно обраній точці збігається з тангенсом кута нахилу дотичної до , побудованої в цій точці (рис. 3.4), тобто

.

У точці максимуму дотична рівнобіжнаі осі абсцис і кут , а разом з ним і похідна , дорівнюють нулю.

Розглянемо тепер функцію, показану на рис. 3.5. У точках виконується умова (3.1). Видно, що найменшого значення на інтервалі досягає в точці (глобальний мінімум), а найбільшого значення — у точці (глобальний максимум). Точка є точкою локального мінімуму, а точка - локального максимуму. У точці ж не досягається ні мінімум, ні максимум. Ліворуч і праворуч

від точки характер зміни функції однаковий (у даному випадку вона зростає). Таку точку назвуть точкою перегину. Як видно, вона відрізняється від екстремальних точок саме цією властивістю — однаковим характером зміни функції ліворуч і праворуч від цієї точки (дійсно, лівіше точки максимуму функція зростає, правіше — спадає, у точці мінімуму спостерігається зворотне явище).

Важливий висновок зі сказаного полягає в тім, що, хоча кожна точка локального екстремуму є стаціонарною, не всі стаціонарні точки доставляють екстремум досліджуваній функції. Для знаходження дійсно екстремальних точок слід стаціонарні точки, тобто корені рівняння (3.1), піддати додатковій перевірці. Ця перевірка може бути виконана на основі наступної достатньої умови екстремуму.

Теорема 3.2. Для того, щоб функція мала в стаціонарній точці локальний мінімум (максимум), досить, щоб її друга похідна була в точці позитивна (негативна):

(3.2)

Доказ цієї теореми можна знайти в курсах математичного аналізу [3, 4].

Таким чином, для відшукання локальних максимумів функції слід знайти всі дійсні корені рівняння (3.1) і відібрати серед них ті, що задають другий похідній негативний знак. Аналогічним чином, для знаходження локальних мінімумів повинні бути відібрані корені рівняння (3.1), що задають знак «плюс» другій похідній.

Приклад. Знайдемо величину опору навантаження , при якій джерело з ЕДС і внутрішнім опором віддає максимальну потужність навантаженню (рис. 3.6).

Потужність на навантажувальному опорі , що виділяється струмом , дорівнює

(3.3)

Необхідна умова екстремуму функції (3.3) має, відповідно до теореми 3.1, вигляд

,

звідки знаходимо єдину стаціонарну точку

.

Переконаємося, спираючись на знак другої похідної функції , що ця точка дійсно доставляє максимум функції (3.3):

.

Ми перевірили, таким чином, відоме правило, відповідно до якого максимальна віддача потужності від генератора в навантаження відбувається при рівності внутрішнього опору генератора опору навантаження. У силу цього правила максимально можливий ККД по потужності складає 50%.