2. Проблема корекції лінійних перекручувань каналів зв'язку

2.1. Постановка задачі корекції

Корекцію (виправлення, компенсацію) лінійних перекручувань каналів зв'язку можна здійснити каскадним включенням у тракт передачі лінійних коригувальних пристроїв (коректорів), що забезпечують у заданій смузі частот виконання умови

, (2.1)

де , і - передатні функції відповідно каналу зв'язку,що спотворює коректора і «ідеально» відкоректованого тракту передачі (рис. 2.1). Функція вважається заданою, звичайно (див. § 1.3)

, , .

Якщо передатна функція заздалегідь відома, коректор може бути розрахований і синтезований у вигляді пристрою з фіксованими параметрами, але в багатьох задачах практики функція заздалегідь не визначена (наприклад, на мережах зв'язку, що комутуються,), а іноді може змінюватися під час передачі (як, наприклад, у багатопроменевих радіоканалах) . Тоді задача корекції зводиться до синтезу лінійного чотириполюсника, що перебудовується, з передатною функцією такий, що в кожному конкретному випадку виконується умова (2.1). Необхідна передатна функція коректора завжди реалізується з деякою похибкою; позначаючи через і передатні функції технічно реалізованого коректора і тракту «канал плюс коректор» відповідно (див. рис. 2.1), одержуємо вираз для похибки коректування

- комплексної функції частоти .

В даний час знаходять широке застосування поліномні коректори з передатними функціями у вигляді узагальненого багаточлена (полінома)

, (2.2)

де , , , ..., - заздалегідь реалізовані (так звані базисні) функції, a , , , ..., - варійовані параметри (дійсні числа), зміною яких здійснюється синтез необхідної передатної функції коректора [9, 10, 14, 15]. Формулі (2.2) відповідає структурна схема, показана на рис. 2.2.

При корекції частотних характеристик каналів за допомогою поліномного коректора вираз для похибки синтезу необхідної передатної функції каналу приймає вид

де , , , ..., - базисні функції «еквівалентного» поліномного синтезатора, що формує (синтезуючого) передатну функцію відкоректованого каналу зв'язку.

Розглянемо докладніше синтез необхідної частотної характеристики поліномним синтезатором з передатною функцією

.

В усіх практичних випадках зробити похибку рівною нулю не вдається, але у цьому і немає необхідності. Замість похибки звичайно зводять до мінімуму чи до припустимої величини деяке число , що є «гарною» характеристикою , точніше, мірою того, наскільки функція ухиляється від нуля

. (2.3)

Уведення числової характеристики для оцінки «рівня» у загальному випадку комплексної функції є досить універсальним для різних прикладних задач спрощуючим підходом. Нижче ми розглянемо це питання.

2.2. Середньоквадратична похибка коректування Найчастіше на практиці

, (2.4)

де - дійсна невід’ємна обмежена функція, звана вагою, котру в багатьох випадках вважають постійною, а і , як і раніше, дорівнюють нижній і верхній частотам смуги пропускання каналу зв'язку. Вираз (2.4) називають середньоквадратичною похибкою корекції каналу.

Рисунок 2.3 пояснює зміст середньоквадратичного критерію точності корекції каналу зв'язку (2.4). Нехай (див. рис. 2.3, а, б). Тоді , (рис. 2.3, в). Заштрихована на рис. 2.3, д площа саме дорівнює величині .У даному випадку вагова функція (рис. 2.3, г) «підкреслює» роль високих частот, нехтуючи відмінністю реальної передатної функції від ідеальної в області низьких частот (можна припускати, що розроблювач коректора, що задав вагову функцію рівною нулю лівіше частоти , упевнений у відсутності в передаваємому сигналі енергії в області частот , у зв'язку з чим вагова функція

рис. 2.3, г «зосереджує» виправляючу здатність коректора винятково в діапазоні частот ).

Звернемо увагу на ту обставину, що, якщо при , то вираз (2.4) дорівнює нулю, якщо ж функція більше нуля в довільному скінченному діапазоні частот смуги , то число виявляється більшим нуля. Таким чином, число (2.4) дійсно можна розглядати як деякий показник якості каналу зв'язку.

Знаходять застосування також середня абсолютна похибка

і максимальна абсолютна: (чебишевська) похибка

.

Уведення числової оцінки похибки синтезу дуже зручно з практичної точки зору. У той час як контроль і, тим більше, візуальне спостереження комплексної функції у всьому інтервалі викликає великі труднощі, фізичне моделювання виразу (2.4) дозволяє спостерігати величину у вигляді показань, наприклад, стрілочного індикатора.

Надалі ми будемо розглядати лише середньоквадратичний критерій точності коректування (2.4), поклавши , , де , . Крім того, наслідуючи традицію, похибку будемо оцінювати по симетричному інтервалу ^, поділивши її на . Для цього випадку (згадаємо вираз для похибки ) величину (2.4) позначимо по-новому:

. (2.5)

Виконаємо деякі перетворення виразу (2.5). Позначивши рискою операцію переходу від числа до комплексно - сполученого числа , знайдемо

Скористаємося тим, що операції інтегрування і підсумовування перестановочні. Тоді, перетворивши останній вираз, одержимо

(2.6)

Для подальшого виявиться корисним увести позначення для першого доданка в (2.6)

. (2.7)

Для перетворення другого доданка в (2.6) скористаємося тим, що

. (2.8)

Справедливість останньої рівності обгрунтовується в такий спосіб.

Відомо, що спектри дійсних сигналів мають парну дійсну і непарну уявну частину (ми говорили про це в § 1.2, властивість 1). Але інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (2.8), представимо у вигляді

. (2.9)

Вираз можна розглядати як передатну функцію ланцюга у вигляді каскадного з'єднання двох схем з дійсними імпульсними реакціями:

(2.10а)

- бажаною («ідеальною») імпульсною реакцією відкоректованого каналу і - інвертованою в часі імпульсною реакцією ланцюга з передатною функцією , тобто

(2.10б)

(див. § 1.2, властивість 2, наслідок 1.1). Функції і є дійсними, звідки випливає дійсність імпульсної реакції каскадного з'єднання ланцюгів з передатними функціями і .

Зі сказаного випливає, що є непарною функцією частоти. Тому інтеграл від цієї функції в симетричних межах (другий доданок у правій частині рівності (2.9)) дорівнює нулю, звідки випливає справедливість співвідношення (2.8).

Спираючись на (2.8) і увівши нові позначення

, , , ..., ; (2.11а)

, , , , ..., , (2.11б)

можемо записати (з урахуванням (2.7)) остаточно

. (2.12)

Середньоквадратичну похибку нам вдалося, таким чином, представити в явному вигляді як функцію (n+1)-ї змінної:

(2.13)

Ця залежність є функцією другого ступеня - (n +1)-вимірною параболою (вона від’ємна, тому що є площею під від’ємною кривою , і, як легко перевірити, необмежено зростає при прямуванні до нескінченності кожного з коефіцієнтів ).

Приклад. Для n = 1 є двовимірною параболічною поверхнею, вигляд якої показаний на рис. 2.4:

(2.14)

При виведенні останньої формули було прийнято до уваги, що

,

тому що функції і ^ мають однакові дійсні частини і уявні частини, що лише відрізняються знаком, причому інтеграл у симетричних межах від уявної частини в силу її непарності дорівнює нулю.

Рівняння так званих ліній рівня^ цієї поверхні, тобто ліній в області визначення (площини ), на яких поверхня приймає фіксовані значення, має вигляд

. (2.15)

Можна довести, що дане рівняння в загальному випадку відповідає еліпсу (див. рис. 2.5, на якому показані лінії рівня зображеної на рис. 2.4 поверхні (2.14), при , причому ).Таким чином, задача корекції перекручувань каналу зв'язку за допомогою поліномного коректора звелася до математичної задачі оптимізації (відшуканню мінімуму) (n+1)-вимірної параболічної поверхні.

Рис. 2.4 Рис. 2.5

Сам процес відшукання мінімуму похибки (зокрема, ) при варіації параметрів називають розрахунком, а у випадку апаратурної мінімізації - настроюванням поліномного коректора. Важливо відзначити, що завдяки приведеним вище міркуванням технічна задача з області зв'язку стала задачею чисто математичною.

Як вирішуються такі математичні задачі?

Ми дамо відповідь на це питання в главі 4. Зараз же зупинимося на дуже важливому з практичної точки зору питанні апаратурного визначення величини . Це питання вирішується дуже просто при настроюванні за середньоквадратичним критерієм, тому що в цьому випадку похибку можна контролювати в часовій області.