1.2. Властивості спектрів

Приведемо без доказу ряд добре відомих і важливих у подальшому властивостей спектрів [5...7].

1. Амплітудно - частотна характеристика і дійсна частина спектра довільного дійсного сигналу є парними функціями частоти, а його уявна частина і фазочастотна характеристика - непарними, тобто

; ; (1.10)

; . (1.11)

2. Теорема 1.1 (масштабів). Нехай сигнал має спектр . Тоді сигнал , де - довільне дійсне число, має спектр .

Дану теорему ілюструє рис. 1.5, де а - прямокутні сигнали і , б - відповідні спектри і .

Наслідок 1.1. Перехід від дійсного сигналу до інвертованого в часі сигналу приводить до перетворення спектра вихідного сигналу в комплексно-сполучений спектр .

Дане твердження випливає безпосередньо з теореми масштабів і приведеної вище властивості спектрів 1, в силу якого – парна функція, а - непарна. Дійсно, спектр сигналу має вигляд

.

3. Теорема 1.2 (Релея - Парсеваля). Енергія сигналу дорівнює розділеній на енергії його спектра:

. (1.12)

Зауваження 1.1. З рівності (1.12) випливає, що енергія сигналу не залежить від його фазочастотної характеристики, тому що остання «відсутня» у правій частині (1.12).

4. Теорема 1.3 (запізнювання). Нехай сигнал має спектр . Тоді сигнал (вихідний сигнал , що запізнився на час ) має спектр .

Дану теорему ілюструє рис. 1.6, на якому зображено проходження сигналу через лінію затримки на час .

^{5. Теорема 1.4 (В. А. Котельникова). Довільний сигнал} , спектр якого поза смугою частот дорівнює нулю (такі сигнали називають смуговообмеженими), може бути відновлений за своїми дискретними значеннями (відліками), взятими через інтервал часу

(1.13)

(інтервал Котельникова),або, як ще говорять, з подвоєною верхньою частотою, тому що періоду (1.13) відповідає частота дискретизації

, (1.14)

де - верхня частота (у герцах) в спектрі сигналу . Формула відновлення має вигляд

. (1.15)

Рис. 1.7

На рис. 1.7,а показаний спектр смуговообмеженого сигналу, а на рис. 1.7,б - його дискретні значення, взяті відповідно до теореми В. А. Котельникова.

Зауваження 1.2. Можна показати, що сума квадратів усіх «котельниковських» відліків сигналу , , , , ..., зв'язана з його енергією співвідношенням

. (1.16)

6. Теорема 1.5 (про згортку). Нехай маємо два сигнали і . Введемо третій сигнал за допомогою так званої формули згортки:

. ..... (1.17)

Тоді спектри сигналів , і зв'язані співвідношенням

. (1.17а)

1.3. Передатні функції та імпульсні реакції лінійних систем

Визначення 1.3. Лінійною системою (ланцюгом) називають «чорну скриньку» (пристрій із входом і виходом, внутрішня структура якого може бути невідомою, рис. 1.8), що задовольняє умовам:

1. якщо сигнал на вході «чорної скриньки» породжує сигнал на її виході, то при подачі на вхід сигналу , , на виході одержимо ;

^{Рис. 1.8}

^{2) якщо вхідні сигнали «чорної скриньки» і породжують на виході сигнали і відповідно, то при подачі на вхід сигналу на виході одержимо .}

Якщо лінійна система задовольняє умові стаціонарності, тобто її властивості і параметри незмінні в часі, то сигнали на її вході і виході зв'язані наведеним вище співвідношенням згортки (1.17):

,

де - імпульсна реакція цієї системи.

Визначення 1.4. Імпульсною реакцією називають відгук системи (рис. 1.9,б) на вхідний вплив у вигляді -функції (рис. 1.9,а) — нескінченно короткого імпульсу нескінченно великої амплітуди, що має одиничну площу (див. рис. 1.10, на якому зображено послідовність прямокутних імпульсів зростаючої амплітуди й спадаючої тривалості , , , ..., що переходять в межі при в - функцію).

Якщо імпульсна реакція характеризує поведінку лінійної системи в часовій області, то для опису цієї системи в частотній області використовують передатну функцію.

Рис. 1.9 Рис. 1.10

Визначення 1.5. Перетворення Фур'є від імпульсної реакції називають передатною функцією

. (1.18)

В силу згаданої вище теореми про згортку, між вхідним і вихідним спектрами лінійної стаціонарної системи (таку систему часто називають системою з інваріантними в часі параметрами) існує дуже простий зв'язок (див. рис. 1.8):

. (1.19)

Зауваження 1.3. Іноді передатну функцію вводять за допомогою рівності (1.19), визначаючи цю функцію як відношення спектра на виході лінійної стаціонарної системи до спектра на вході цієї системи:

. (1.20)

Уведена таким способом передатна функція задовольняє, як неважко перевірити, рівності (1.18).

Зауваження 1.4. Безпосередньою перевіркою можна установити, що парній імпульсній реакції відповідає парна дійсна передатна функція ; непарній імпульсній реакції відповідає непарна уявна передатна функція .

За аналогією з амплітудно- і фазочастотними характеристиками (формули (1.7а) і (1.7б)), які має спектр довільного сигналу, для передатної функції лінійної системи

(1.21)

вводять амплітудно-частотну характеристику (АЧХ) і фазочастотну характеристику (ФЧХ) ; широке поширення одержала тісно пов'язана з ФЧХ характеристика групового часу проходження (ГЧП)

. (1.22)

Оскільки ідеальна передатна функція, яка не вносить спотворень, повинна тотожно дорівнювати одиниці (при цьому, у силу (1.19), спектри, а отже, і сигнали, на вході і виході лінійної системи співпадають):

, , (1.23)

то для АЧХ, ФЧХ і ГЧП, що не вносять спотворень, одержуємо співвідношення

, (1.24а)

, (1.24б)

, (1.24в)

.

На практиці, однак, посиленням (ослабленням), а також запізнюванням сигналу (при збереженні його форми незмінною) у багатьох випадках можна знехтувати і систему з передатною функцією , , , вважати ланцюгом, що не вносить спотворень. Тому в якості ідеальних часто розглядають характеристики рис. 1.11:

_{Рис. 1.11}

, (1.25а)

, (1.25б)

, ....... (1.25в)

У випадку, коли порушується хоча б одна з цих умов, вихідний сигнал відрізняється за формою від вхідного. Так, спотворення АЧХ типу «завалу» високих частот призводить до збільшення часу наростання фронтів імпульсів (фронти стають пологими). До збільшення тривалості фронтів приводять також спотворення ФЧХ чи ГЧП. Характерною ознакою спотворень ФЧХ чи ГЧП є поява асиметрії вихідного сигналу за умови, що вхідний сигнал був парно симетричним. Зупинимося на питанні впливу на сигнали, що надходять, спотворень АЧХ і ФЧХ (так званих лінійних спотворень) докладніше.