1. Допоміжний матеріал: сигнали, спектри, передатні функції

1.1. Поняття спектра сигналу

У техніці зв'язку використовуються сигнали різної форми: прямокутні, трикутні, косинус-квадратні

— вони показані на рис. 1.1 (криві 1, 2 і 3

відповідно), а також деякі інші.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Кожному сигналу ставлять у відповідність спектр за допомогою перетворення Фур'є (точніше, прямого перетворення Фур'є)

. (1.1)

Для сигналів довільної (у тому числі і нескінченної) тривалості останню формулу пишуть у більш загальному вигляді:

. (1.2)

Інтеграли (1.1) і (1.2) для всіх частот визначають комплексну функцію - спектр, фізичний зміст якого стає зрозумілим з доведеної в курсі математичного аналізу [3, 4] формули зворотного перетворення Фур'є

, . (1.3)

Дійсно, у співвідношенні (1.3) можна приблизно - відповідно до методу прямокутників [3, 4], згідно з яким функція, що інтегрується, наближається послідовністю прямокутників (рис. 1.2), — підмінити інтеграл сумою і переписати це співвідношення в такий спосіб:

.(1.4)

При запису результату (1.4) використовувалося співвідношення Ейлера

.

Співвідношення (1.4) показує, що довільний сигнал можна представити у вигляді нескінченного набору (суми) косинусоїд і синусоїд з частотами і, взагалі кажучи, комплексними коефіцієнтами. Якщо відволіктися від постійного для всіх значень номера множника , то цими коефіцієнтами при функціях і служать відлікові значення спектра . Отже, кожний сигнал «складається» з косинусоїд і синусоїд (точніше, є їхньою сумою) з відповідним чином підібраними коефіцієнтами.

Іноді краще відмовитися від ейлерового представлення комплексної експонентної функції й обмежитися наведеним вище видом сигналу :

, (1.4а)

який переходить у рівність (1.3) при прямуванні до нуля ; співвідношення (1.4а), а разом з ним і граничну рівність (1.3) можна інтерпретувати в такий спосіб: кожний сигнал являє собою суму комплексних експонентних функцій, чия дійсна частина — косинусоїда, а уявна частина — синусоїда, з коефіцієнтами , обумовленими формулою (1.2).

Визначення 1.1. Сукупність усіх коефіцієнтів , , точніше, їхніх граничних значень при , тобто функція , , називається спектром сигналу .

Експонентні функції і , ,мають чудову властивість - ортогональність на осі .

Визначення 1.2. Дві в загальному випадку комплексні функції і , , називаються ортогональними на інтервалі , якщо виконується рівність

, (1.5)

де рискою позначений перехід до комплексно-сполученої величини¹.

Зрозуміло, для дійсних і рівність (1.5) записується без риски над :

. (1.5а)

Умові ортогональності (1.5а) задовольняють, зокрема, косинусоїди і синусоїди різних частот при , :

, , .

Таким чином, представлення сигналів за допомогою зворотного перетворення Фур'є (1.3) (чи наближені їх представлення за допомогою формули (1.4а)) є, власне кажучи, ортогональними розкладаннями. Надалі (див. главу 2) нам зустрінуться ортогональні синтезатори (коректори) частотних характеристик, що здійснюють синтез заданих залежностей у вигляді суми ортогональних функцій зі спеціальним чином обраними коефіцієнтами. Властивість ортогональності полегшує процес відшукання цих коефіцієнтів (див. главу 4).

Повернемося до спектрів сигналів. Припустимо, що комплексну функцію частоти - спектр сигналу - можна представити у вигляді , де, відповідно до теорії комплексних чисел і функцій [4], - модуль спектра, а - його аргумент зі зворотним знаком. При цьому

, (1.7а)

, (1.7б)

де - дійсна частина , - уявна частина , так що

. (1.8)

Геометричний зміст співвідношень (1.6) ... (1.8) ілюструє рис. 1.3.

Наділяючи і фізичним змістом, іноді називають амплітудно-частотною характеристикою сигналу (АЧХ), а - його фазочастотною характеристикою (ФЧХ). Така термінологія є доречною; дійсно, якщо розглянути довільно обраний частотний компонент сигналу (1.3) (при ):

^,

^{Рис. 1.3}

то стане зрозумілим, що визначає її амплітуду, а - початкову фазу (зі зворотним знаком).

Приклад. Дослідимо спектр прямокутного імпульсу (див. рис. 1.1). Відповідно до формули (1.1) знаходимо

. (1.9)

Побудуємо графік отриманого спектра (рис. 1.4). Звернемо увагу на те, що даний спектр є дійсною функцією частоти (цю властивість мають спектри всіх парних сигналів). Розглядаючи рис. 1.4, можна помітити, що максимальне значення функція (1.9) приймає в точці (воно дорівнює, що легко перевірити, розкривши невизначеність за правилом Лопіталя [3, 4], Т); іншими словами, найбільший «внесок» при «побудові» прямокутного імпульсу вносить функція нульової частоти - так звана постійна складова, найменший (нульовий) «внесок» вносять комплексні експоненти з частотами , , , ..., коефіцієнти при них дорівнюють нулю.

Рис. 1.4

Вплив на форму прямокутного сигналу експонентних функцій при стає все меншим. Дійсно, спектр цього сигналу прямує до нуля зі збільшенням частоти: .