4.4. Вероятность попадания в заданный интервал.

а) С помощью известных формул повторных испытаний. Если

события, например количество очков: 0; 1; 2;...; n, образует полную систему событий, то будет P(0)+P(1)+P(2)+…P_n(n)=1.Последнее можно записать еще и так:

(12)

Отсюда учитывая, что по формуле Бернулли Р_n(0) = qⁿ получим

(13)

Здесь - вероятность появления события хотя бы один раз в n повторных независимых испытаниях. Из проведенных рассуждений следует, что

б) С помощью интегральной теоремы Лапласа. Очевидно, формулой (14) пользоваться весьма трудоемко, при больших значениях к₁ b к₂. В этом случае рекомендуется интегральная теорема Лапласа. Сначала ее сформулируем:

Теорема. Вероятность того, что в а испытаниях (в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р) событие наступит не менее к₁ раз и не более к₂ раз, приближенно равна

где - функция Лапласа, (15)

Заметим, что функция Лапласа - это интеграл, не берущийся в элементарных функциях, и потому для его вычисления составлены специальные таблицы. Эти таблицы имеются в конце каждого учебника по теории вероятностей для положительных значений х, а для Ф(-х), с учетом того, что Ф(х) -нечетная функция (см. 15), будет Ф(-х) = -Ф(х). Надо сказать, что в некоторых учебниках даны значения для Ф(х) вдвое большими, чем в других. Тогда интегральную теорему Лапласа записывают так:

в) Наивероятнейшее число наступления события.

Определение. Число m₀ наступления некоторого события в n повторных независимых испытаниях называется невероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями других возможных исходов.

Согласно этому определению имеем следующие неравенства:

и

Решая них, с учетом формулы Бернулли:

Задача. Вероятность прорастания семян данного растения принимается равной 0,75. Сколько следует взять семян, чтобы наибольшее число, взошедших из них, равнялось бы 100.

Решение. Согласно условию задачи т₀ = 100, и значит -.

Пользуясь формулой наивероятнейшего числа наступления события (15) получим

т.е.

2) т.е.

Вывод. Чтобы гарантировать заданную всхожесть нужно 134

штуки семян

5. Статистическое определение вероятности.

Важным достоинством классического определения вероятности события является то, что с его помощью, вероятность события, можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений. Однако классическое определение вероятности применимо далеко не всегда особенно в прикладных вопросах математики. В этих случаях прибегают, к так называемому, статистическому определению связанному с понятием относительной частоты события, которая как известно выражается формулой:

Здесь m - число опытов, в которых появилось событие А в серии из n опытов.

Относительную частоту W(А) на практике расценивают, как статистическую вероятность при условии, что n достаточно велико. Дело в том, что при малом n будет W(А) - случайной величиной, а с увеличением n значение W(А) перестает быть случайным и оно стабилизируется около некоторого числа р. Его то и называют статистической вероятностью события А.

Определение. Статистической вероятностью события А называется относительная частота W(A) появления этого события при условии, что n (число проведенных опытов) достаточно велико.

Важно заметить, что из проведенных рассуждений казалось бы следует (на «языке» мат. анализа) что при будет где - как угодно малое число. Однако это не так, ведь в теории вероятностей это неравенство выполняется не достоверно, а лишь с некоторой вероятностью, что символически записывают так Эту запись надо понимать в смысле сходится к р "по вероятности" значит

"по вероятности".

Явление, что при , назвали свойством устойчивости частот. Все ли случайные события обладают свойством устойчивости частот? Нет не все, но многие. Например, установлено, что частота рождения мальчиков и девочек очень устойчива и равна ≈0,51 для мальчиков. Свойством устойчивости частот обладают заболеваемость и смертность населения, брак на производстве, многие метеорологические явления и др. Эта устойчивость позволяет с успехом применять вероятностные методы для изучения случайных явлений и управлять ими.