4.Повторные независимые испытания.
Определение. Повторные (многократно повторяющиеся) испытания называются независимыми, по отношению к некоторому событию А, если вероятность появления события А в каждом из них не зависит от исходов других испытаний.
При повторных испытаниях вероятность появления события можно вычислить (в зависимости от условия задачи) по специальным формулам. Рассмотрим их:
4.1.
Формула Бернулли. Теорема.
Вероятность
того, что некоторое
событие появляется равно m
раз в n
независимых испытаниях равна
Т.е.
Здесь
р и q-
вероятность, соответственно, появления
и не появления данного
события в одном испытании, значит это
полная система событий и
потому р + q=1;
-
число сочетаний из n
элементов по m.
Доказательство.
Обозначим через
появление события А в i-
том испытании
где i=1,2,…,n),
а через
-
не появление события А в i-том
испытании.
Далее обозначим через р
=
.
Пусть
появится
ровно m
раз в n
испытаниях и следовательно
появится n-m
раз.
Очевидно может появиться в различных комбинациях с- .Рассмот-
рим сумму таких возможных комбинаций (несовместных событий).
Очевидно,
таких слагаемых будет
,
а каждое из них, будучи вероятностью
произведения независимых событий,
равно
Значит искомая вероятность выразится
равенством.
Впредь желательно помнить, что:
.
Задача. Вероятность попадания в цель в каждом из пяти выстрелов есть р=0,8. Найти вероятность того, что будет ровно 2 попадания.
Дано:
n=5,
m=2,
р=0.8 , q=0,2.
Найти
(2)
Решение.
,
где по формуле
будет
Теперь
4.2. Формула
Пуассона. (Закон редких явлений).
Вычислять, по формуле
Бернулли, вероятность появления
события при большом n
и малом
р, очень трудоемко. В этом случае
пользуются формулой Пуассона.
Она имеет вид
где а = n
p
Вывод.
Обозначив пр
= а, и
учитывая что
а
формулу Бернулли преобразуем так
Здесь
очевидно при n
все скобки (кроме той, что в числителе)
стремятся к 1, а та, что в числителе (по
формуле замечательного
предела, т.е. по формуле
=е)
примет вид
Значит,
при
будет справедливо следующее приближенное
равенство:
.
Задача. Торговая база получила 10000 электролампочек. Вероятность повреждения электролампочки в пути равна 0,0001. Определить вероятность того, что в пути будет повреждено 4 электролампочки.
Решение. По условию имеем: m=4, n=10000, р=0,0001. Здесь, налицо, закон редких явлений (n - велико, р - мало). Значит, решать целесообразно по формуле Пуассона.
Получим
(учитывая, что а = nр
=
=1)
4.3.
Локальная теорема Лапласа.
Если вероятность появления некоторого
события в каждом из n
независимых повторных испытаний
постоянна
и равна р, то вероятность того, что это
событие появится ровно m
раз в каждом из n
испытаний определяется (для больших n
и m)
следующей формулой: Pn(m)≈
,
где х=
,
.
Для
этой функция составлены специальные
таблицы, они имеются в
конце каждого учебника теории
вероятностей. Кстати в этих таблицах
значения
(х)
даны только для х>0, для значений х<0
следует воспользоваться
тем что
(х)
- четная функция, ведь
(-х)
=
(х).
Задача. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
Решение.
Здесь n=100,
m=75,
p=0.8,
