2.Формула полной вероятности.

Теорема. Если некоторое событие А может произойти с одним из событий образующих полную систему событий, то справедливо равенство - формула полной вероятности.

Доказательство. Согласно условию теоремы появление события А означает осуществление одного из событий: или или , или . Т.е.

А = и значит искомая вероятность:

Р(А)=Р(Н₁А+Н₂А+...+ )

Здесь все слагаемые события являются несовместными, ведь по условию событие А может произойти только с одним . Значит, вероятность этой суммы следует находить по формуле (4). Т. е. будет

Р(А) =

где и А - зависимые события по условию и поэтому теперь следует воспользоваться формулой (3). Получим

Что и требовалось доказать.

Обычно по условию задачи, неизвестно какое из событий ,Н₂,..., произойдет, поэтому эти события называют гипотезами.

По условию теоремы гипотезы образуют полную систему событий и поэтому Р( )= 1- Далее, так как ,Н₂ ... - несовместные события, то получим:

= 1. Это надо для контроля, что выдвинутые гипотезы являются правильными.

Задача. Сборщик получил 3 коробки деталей изготовленных заводом № 1 и 2 коробки деталей изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартная - 0,6, а завода № 2 -0,7.

Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартная.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что взятая наудачу деталь является стандартной и пусть событие:

- состоит в том, что эта деталь изготовлена заводом № 1

Н₂- состоит в том, что эта деталь изготовлена заводом №2

Здесь и Н₂ - выдвинутые нами гипотезы и они правильные, если будет Р + Р -1- контроль.

В данной задаче с помощью классического определения вероятности, имеем: Р ( А) + Р (Н₂А) +…+ Р ;

Следовательно Значит выдвинутые гипотезы – правильные.

Теперь искомую вероятность Р(А) можно найти по формуле полной вероятности учитывая, что по условию Будем иметь

3. Формула Бейеса переоценки гипотез.

Теорема. Если вероятности гипотез выдвинутых до опыта были Р ,Р(Н₂),...,Р( ) и в результате опыта появилось событие А, то вероятность оправданных опытом гипотез вычисляется по формуле Бейеса

где Р(А) - определяется по формуле полной вероятности.

Доказательство. По условию события и А - зависимые и значит по формуле (3) справедливы равенства

Из последнего равенства следует, что

Аналогично тому, как для выдвинутый гипотез условием их правильности было равенство , так и для переоцененных опытом гипотез должно быть справедливо равенство

Задача. В условии предыдущей задачи найти: 1) вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена на первом заводе, 2) она изготовлена на втором заводе.

Решение. 1) Искомую вероятность найдем по формуле Бейеса

Аналогично

Контроль: