Лабораторная работа № 5. Кривые второго порядка

1. Цель работы

Приобретение умений построения кривых второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат и составления их канонических уравнений.

2. Содержание работы

1) По виду уравнений (табл. 1) определите тип заданных кривых. Решение оформите в тетради.

2) Приведите уравнения кривых второго порядка (табл. 2) к каноническому виду и постройте их. Решение оформите в тетради.

3) Приведите уравнения кривых второго порядка (табл. 3) к каноническому виду и постройте их. Решение оформите в тетради.

4) Составьте каноническое уравнение: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (табл. 4). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Уравнение второй степени с двумя неизвестными x и y вида

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, (1)

где хотя бы один из коэффициентов A, B, C отличен от нуля в декартовой прямоугольной системе координат может задавать: окружность, эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, пару совпадающих прямых, точку или пустое множество. Первые четыре линии называются кривыми второго порядка.

Если уравнение (1) не содержит произведение ху и имеет вид:

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0, (2)

то в зависимости от значений коэффициентов А и С по виду уравнения легко определить тип кривой:

а) если АС > 0, то уравнение (2) задает линию эллиптического типа (эллипс, окружность, точку или пустое множество);

б) если АС < 0, то уравнение (2) задает линию гиперболического типа (гиперболу или пару пересекающиеся прямые);

в) если АС = 0, то уравнение (2) задает линию параболического типа (параболу, пару параллельных прямых, пару совпадающих прямые или пустое множество).

Пример 1. По виду уравнений определите тип заданных кривых:

а) х² + 5у² – 3х – 7у – 7 = 0, б) 2х² – 3у² + 4х – 5 = 0, в) 3у² – 2х + 6у = 0.

Решение. а) В уравнении А = 1, С = 5, следовательно, АС > 0 и оно определяет линию эллиптического типа.

б) Из уравнения А = 2, С = –3, т.е. АС < 0, а значит, это уравнение линии гиперболического типа.

в) В уравнении А = 0 и С = 3, т.е. АС = 0. Заключаем, что дано уравнение параболического типа.

Вид кривой второго порядка не зависит от системы координат, поэтому для каждой кривой может быть выбрана такая система координат, в которой ее уравнение примет наиболее простой вид, называемый каноническим (простейшим).

Кривые второго порядка.

1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки C(a; b) (центр окружности) на расстояние R (радиус окружности) (рис. 1). Каноническое уравнение:

(x – a)² + (y – b)² = R². (3)

Рис. 1. Окружность (x – a)² + (y – b)² = R²

В частном случае, а) если a = 0 (рис. 2, а), то каноническое уравнение окружности имеет вид:

x² + (y – b)² = R²; (4)

б) если b = 0 (рис. 2, б), то каноническое уравнение имеет вид:

(x – a)² + y² = R²; (5)

в) если a = b = 0 (рис. 2, в), то каноническое уравнение имеет вид:

x² + y² = R². (6)

а) x² + (y – b)² = R² б) (x – a)² + y² = R² в) x² + y² = R²

Рис. 2. Окружности

Пример 2. Определите тип линии x² + y² – 4x + 8y – 16 = 0 и постройте ее.

Решение. Сгруппируем все члены с х и отдельно с у:

(х² – 4х) + (у² + 8у) – 16 = 0.

Используя формулы (а  b)² = a²  2ab + b², выделим в первой скобке квадрат разности, а во второй – квадрат суммы и преобразуем:

(х² – 22х + 2² – 4) + (у² + 24у + 4² – 16) – 16 = 0,

(х – 2)² – 4 + (у + 4)² – 16 – 16 = 0,

(х – 2)² + (у + 4)² – 36 = 0,

(х – 2)² + (у + 4)² = 36.

С равнивая полученное уравнение с уравнением вида (3) заключаем, что мы получили каноническое уравнение окружности с центром в точке С(2; –4) и радиусом R = 6. Строим линию (рис. 3).

Рис. 3

2. Пусть даны две точки F₁ и F₂, называемые фокусами, расстояние между которыми |F₁F₂| = 2c.

Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а > 2c.

Если фокусы взять в точках F₁(–c; 0) и F₂(c; 0), лежащих на оси Ох симметрично начала координат, то эллипс имеет вид как на рис. 4 и его каноническое уравнение есть:

, (7)

где

a > b, b² = a² – c². (8)

Рис. 4. Эллипс

Точки А₁(–а; 0), А₂(а; 0), В₁(0; –b), B₂(0; b) называются вершинами эллипса, О(0; 0) – центр, отрезок |А₁А₂| = 2а называется большой осью, |B₁B₂| = 2b – малая ось, отрезки |А₁O| = |OA₂| =а называются большими полуосями, |B₁О| = |OB₂| = b – малые полуоси, отрезок |F₁F₂| = 2c называется межфокусным расстоянием, число – эксцентриситет эллипса, где 0 <  < 1 (определяет степень сжатия эллипса к оси Ох), числа r₁ = a + x, r₂ = a – x  – фокальные радиусы точки М(x; y).

Более общим случаем эллипса (7) является эллипс (рис. 5) с центром в точке C(х₀; у₀), каноническое уравнение которого имеет вид:

(9)

Рис. 5. Эллипс

Пример 3. Определите тип линии и постройте ее:

а) 3х² + 4у² = 12; б) 4х² + 9у² – 16х + 72у + 124 = 0.

Решение. а) Приведем уравнение 3х² + 4у² = 12 к каноническому виду. Для этого обе части уравнения разделим на свободный член и преобразуем

3х² + 4у² = 12                     .

По уравнению (7) устанавливаем, что дан эллипс (рис. 6, а). Осями симметрии эллипса служат оси координат, центр эллипса – точка О(0; 0), большая полуось а = 2, малая полуось , вершины эллипса – точки А₁(–2; 0), А₂(2; 0), , .

б) Сгруппируем все члены с х и отдельно с у:

(4х² – 16х) + (9у² + 72у) + 124 = 0

и вынесем за скобки коэффициенты при х² и у²:

4(х² – 4х) + 9(у² + 8у) + 124 = 0.

Используя формулы (а  b)² = a²  2ab + b², выделим в скобках квадрат разности и квадрат суммы соответственно и преобразуем

4(х² – 22х + 2² – 4) + 9(у² + 24у + 4² – 16) + 124 = 0,

4((х – 2)² – 4) + 9((у + 4)² – 16) + 124 = 0,

4(х – 2)² – 16 + 9(у + 4)² – 144 + 124 = 0,

4(х – 2)² + 9(у + 4)² – 36 = 0,

4(х – 2)² + 9(у + 4)² = 36.

Делим обе части на свободный член в правой части:

     .

С огласно формулы (9) получаем каноническое уравнение эллипса (рис. 6, б) с центром в точке С(2; –4), оси симметрии – прямые х = 2 и у = –4, большая полуось а = 3 и малая полуось b = 2, вершины эллипса находятся в точках А₁(–1; –4), А₂(5; –4), В₁(2; –6), В₂(2; –2).

а) б)

Рис. 6

Если фокусы располагать в точках F₁(0; –c) и F₂(0; c), лежащих на оси Оу симметрично начала координат или на прямой, параллельной этой оси, то соответствующие эллипсы будут задаваться так же формулами (7) и (9) и иметь вид как на рис. 7.

а) б)

Рис. 7. Эллипсы (7) и (9) соответственно

В этом случае a < b, a² = b² – c², отрезок |B₁B₂| = 2b называется большой осью, |А₁А₂| = 2а – малая ось, – эксцентриситет эллипса, где 0 <  < 1 (определяет степень сжатия эллипса к оси Оy), числа r₁ = b + y, r₂ = b – y  – фокальные радиусы точки М(x; y).

3. Пусть даны две точки F₁ и F₂, называемые фокусами, расстояние между которыми |F₁F₂| = 2c.

Гипербола – это геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а, где 2а < 2c.

Если фокусы взять в точках F₁(–c; 0) и F₂(c; 0), лежащих на оси Ох симметрично начала координат, то гипербола имеет вид как на рис. 8 и ее каноническое уравнение есть:

, (10)

где

b² = с² – а². (11)

Точки А₁(–а; 0), А₂(а; 0) называются вершинами гиперболы, О(0; 0) – центр, отрезок |А₁А₂| = 2а называется действительной осью, |B₁B₂| = 2b – мнимая ось, отрезки |А₁O| = |OA₂| =а называются действительными полуосями, |B₁О| = |OB₂| = b – мнимые полуоси, прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы, отрезок |F₁F₂| = 2c называется межфокусным расстоянием, число – эксцентриситет гиперболы, где  > 1 (определяет степень сжатия ветвей гиперболы к оси Ох), прямые – асимптоты гиперболы, для точек правой ветви гиперболы фокальные радиусы имеют вид r₁ = a + x и r₂ = –a + x, а для точек левой ветви – это r₁ = –a – x и r₂ = a – x.

Рис. 8. Гипербола

Если полуоси гиперболы (10) равны (a = b), то она называется равносторонней (рис. 9) и задается каноническим уравнением:

или x² – y² = a². (12)

Рис. 9. Гипербола x² – y² = a

Эксцентриситет равносторонней гиперболы , ее асимптоты имеют уравнения y = x.

Более общим случаем гипербол вида (10) и (12) являются гиперболы (рис. 10) с центром в точке C(х₀; у₀), канонические уравнения которых имеет вид:

(13)

и

или (x – x₀)² – (y – y₀)² = a². (14)

а )

б)

Рис. 10. Гиперболы (13)–(14) соответственно

Пример 4. Определите тип линии и постройте ее:

а) 9х² – 4у² = 36; б) 4х² – 9у² – 8х + 36у – 68 = 0.

Решение. а) Приведем уравнение 9х² – 4у² = 36 к каноническому виду. Для этого обе части уравнения разделим на свободный член и преобразуем

9х² – 4у² = 36                     .

Сравнивая полученное уравнением с формулой (10) делаем вывод, что дана гипербола. Оси симметрии гиперболы – оси координат, центр гиперболы – О(0; 0), действительная полуось а = 2, мнимая полуось b = 3, вершины находятся в точках А₁(–2; 0) и А₂(2; 0). Построение гиперболы начинаем с основного прямоугольника со сторонами 2а = 4 и 2b = 6, симметричного относительно начала координат и осей координат. Проводим диагонали прямоугольника и продолжаем их неограниченно в обе стороны. Они являются асимптотами гиперболы и имеют уравнения , т.е. и . Затем строим гиперболу, которая пересекает ось Ox в своих вершинах и при удалении в бесконечность гипербола неограниченно приближается к асимптотам (рис. 11, а).

б) Выполним действия, аналогичные примеру 3, пункт б):

(4х² – 8х) – (9у² – 36у) – 68 = 0,

4(х² – 2х) – 9(у² – 4у) – 68 = 0,

4(х² – 2х + 1 – 1) – 9(у² –4у + 4 – 4) – 68 = 0,

4((х – 1)² – 1) – 9((у – 2)² – 4) – 68 = 0,

4(х – 1)² – 4 – 9(у – 2)² + 36 – 68 = 0,

4(х – 1)² – 9(у – 2)² – 36 = 0,

4(х – 1)² – 9(у – 2)² = 36,

       .

С огласно формулы (13) получаем каноническое уравнение гиперболы с центром в точке С(1; 2), оси симметрии гиперболы – прямые х = 1 и у = 2, действительная полуось а = 3, мнимая полуось b = 2, вершины гиперболы находятся в точках А₁(–2; 2), А₂(4; 2). Основной прямоугольник имеет стороны 2а = 6 и 2b = 4, расположен симметрично относительно центра гиперболы и осей симметрии. Уравнения асимптот как прямых, проходящих через две заданные точки, можно получить, зная центр гиперболы и найдя координаты соответствующей вершины основного прямоугольника (рис. 11, б).

а) б)

Рис. 11

Если фокусы поместить в точки F₁(0; –c) и F₂(0; c), лежащие на оси Оу симметрично начала координат или на прямой, параллельной этой оси, то будут получаться гиперболы, аналогичные гиперболам (10), (12)-(14), имеющие вид как на рис. 12 и задаваться соответственно уравнениями:

, (15)

или у² – х² = b², (16)

, (17)

или (y – y₀)² – (x – x₀)² = b². (18)

а) в)

б) г)

Рис. 12. Гиперболы (15)-(18) соответственно

В этом случае точки B₁ и B₂ называются вершинами гиперболы, отрезок |B₁B₂| = 2b называется действительной осью, |А₁А₂| = 2а – мнимая ось, отрезки |B₁О| = |OB₂| = b называются действительными полуосями, |А₁O| = |OA₂| =а – мнимые полуоси, число – эксцентриситет гиперболы, где  > 1 (определяет степень сжатия ветвей гиперболы к оси Оy).

4. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки F, называемой фокусом и от прямой d, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается p, p > 0.

Если фокус взять и директрису , то получим параболу (рис. 13, а), каноническое уравнение которой имеет вид:

y² = 2px. (19)

Точка О(0; 0) называется вершиной параболы, ось Ох – осью симметрии параболы.

Если фокус и директрису выбирать тремя другими способами, то аналогично параболе (19) будем получать еще три параболы (рис. 13, б-г), канонические уравнения которых соответственно имеют вид:

y² = –2px, (20)

х² = 2pу, (21)

х² = –2pу. (22)

а) б)

в) г)

Рис. 13. Параболы (19)-(22) соответственно

Более общим случаем парабол (19)-(22) являются параболы (рис. 14) с центром в точке C(х₀; у₀), канонические уравнения которых соответственно имеет вид:

(y – у₀)² = 2p(x – х₀), (23)

(y – у₀)² = –2p(x – х₀), (24)

(х – х₀)² = 2p(у – у₀), (25)

(х – х₀)² = –2p(у – у₀). (26)

а) б)

в) г)

Рис. 14. Параболы (23)-(26) соответственно

Пример 5. Определите тип линии и постройте ее:

а)  ; б) у² + 4у – х + 5 = 0.

Решение. а) Сравнивая исходное уравнение

      

с уравнением (22), делаем вывод, что задано каноническое уравнение параболы , где . Ось симметрии параболы – ось Oy, вершина – начало координат, ее ветви направлены вниз. Фокус параболы находится в точке , т. е. , а ее директриса имеет уравнение , т. е. . Строим график (рис. 15, а).

б) Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полный квадрат

(у² + 4у) – х + 5 = 0,

(у² + 22у + 2² – 4) – х + 5 = 0,

(у + 2)² – 4 – х + 5 = 0,

(у + 2)² – х + 1 = 0,

(у + 2)² = х – 1       .

С огласно формулы (23) получили параболу (рис. 15, б), вершина которой находится в точке С(1; –2), параметр , ось симметрии – прямая у = –2, ветви направлены вправо, фокус находится в точке , т. е. , а директриса задается уравнением , т. е. .

а) б)

Рис. 15

Пример 6. Составьте каноническое уравнение: а) эллипса, если левый фокус F₁(–7; 0) и эксцентриситет ; б) гиперболы, если эксцентриситет  = 2 и точка М( ;  ) лежит на гиперболе; в) параболы, имеющей директрису х = –12.

Решение. а) По условию c = 7 и , следовательно, a = 25. Найдем b² = a² – c² = 625 – 49 = 576. Искомое уравнение эллипса .

б) Так как точка М( ;  ) принадлежит гиперболе , то имеем или 3b² – 2a² = a²b² (*). С другой стороны , следовательно, , откуда или . Подставляя это значение b в уравнение (*), получим, что , тогда находим . Искомое уравнение гиперболы .

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид у² = 2рх, ее фокус – в точке , а уравнение директрисы задается уравнением . По условию задачи уравнение директрисы х = –12, откуда находим , р = 24 и искомое уравнение параболы есть у² = 48х.