Лабораторная работа № 4. Прямая на плоскости

1. Цель работы

Приобретение умений переходить от одного вида уравнения прямой к другому, строить прямые в декартовой прямоугольной системе координат, по рисунку записывать уравнение прямой.

2. Содержание работы

1) Запишите общее уравнение прямой (табл. 1, задание А) в виде:

– уравнения с угловым коэффициентом,

– уравнения в отрезках на осях,

– нормального уравнения.

Решение оформите в тетради.

2) По виду уравнений прямых (табл. 1) укажите особенности в расположении каждой прямой относительно осей координат и постройте эти прямые в декартовой прямоугольной системе координат. Решение оформите в тетради.

3) По эскизам (табл. 2) напишите уравнения изображенных прямых. Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Углом наклона прямой к оси Ox называется угол , образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс (рис. 1).

Ч исло k = tg  называется угловым коэффициентом прямой. Если  – острый, то k > 0, если  – тупой, то k < 0, если  = 0, то k = 0, если  – прямой, то k – не существует.

Рис. 1

Различные виды уравнения прямой на плоскости.

1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₁(x₁; y₁) в данном направлении k:

y – y₁ = k(x–x₁). (1)

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = kx + b. (2)

k > 0, b > 0	k > 0, b < 0	k < 0, b > 0	k < 0, b < 0
 b	 b	b 	 b
k > 0, b = 0	k < 0, b = 0	k = 0, b > 0	k = 0, b < 0
		b	b

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂):

. (3)

Угловой коэффициент прямой в этом случае:

. (4)

Если x₂ – x₁ = 0 в знаменателе формулы (3), то получим уравнение прямой, параллельной оси Oy:

x = x₁. (5)

Если y₂ – y₁ = 0 в формуле (3), то получим уравнение прямой, параллельной оси Ox:

y = y₁. (6)

4. Уравнение прямой в отрезках на осях:

. (7)

a  > 0, b > 0	a > 0, b < 0	a < 0, b > 0	a < 0, b < 0

5. Нормальное уравнение прямой:

xcos  + ysin  – p = 0, (8)

г де p = |ON| > 0, ON – отрезок, перпендикулярный прямой, называется нормалью;  – угол между нормалью и положительным направлением оси Ox (рис. 2).

Р ис. 2

6. Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0, (9)

где хотя бы одно из чисел A или B не равно нулю. Числа А и В называются коэффициентами, а число С – свободным членом.

A = 0	B = 0	C = 0	A = 0, C = 0	B = 0, C = 0
By +С = 0 – прямая параллельна оси Oх	Ax + C = 0 – прямая параллельна оси Oу	Ax + By = 0 – прямая проходит через начало координат	By = 0 или y = 0 – прямая совпадает с осью Ox	Ax = 0 или x = 0 – прямая совпадает с осью Oy

Пример 1. Запишите общее уравнение прямой 5x + 3y + 7 = 0 в виде: а) уравнения с угловым коэффициентом; б) уравнения в отрезках на осях; в) нормального уравнения.

Решение. а) Приведем уравнение 5x + 3y + 7 = 0 к виду (2). Для этого слагаемое с y перенесем вправо:

–3y = 5x + 7

и разделим на коэффициент при y:

.

Сравнивая полученное уравнение с (2), замечаем, что , .

б) Приведем общее уравнение к виду (7). Для этого свободный член перенесем вправо:

5x + 3y = –7

и обе части уравнения разделим на этот свободный член:

или .

Сравнивая полученное уравнение с (7), видим, что , .

в) Приведем уравнение 5x + 3y + 7 = 0 к виду (8). Для этого найдем число , которое называется нормирующим множителем, где знак перед корнем в знаменателе выбирают противоположным знаку свободного члена С исходного уравнения Ax+By+C=0:

,

умножим теперь исходное уравнение на нормирующий множитель:

.

Сравнивая полученное уравнение с (8), очевидно, что , , .

Пример 2. Постройте прямые: а) 3x – 2y – 6 = 0; б) 2x – 5y = 0; в) 2y – 1 = 0; г) 3x + 2 = 0; д) 5y = 0; е) 4x = 0.

Решение. а) В уравнении 3x – 2y – 6 = 0 коэффициенты при x, y и свободный член не равны нулю. Геометрически такому уравнению соответствует прямая, пересекающая обе оси координат. Построить ее можно двумя способами: 1) по отрезкам на осях; 2) по точкам пересечения прямой с осями координат.

Способ 1. Приведем уравнение 3x – 2y – 6 = 0 к виду (7):

3x – 2y = 6                     .

Здесь a = 2, b = –3. Так как a = 2 > 0, то на оси Ox в положительном направлении от начала координат откладываем две единицы, а так как b = –3 < 0, то на оси Oy в отрицательном направлении от начала координат откладываем три единицы. Через полученные точки проводим искомую прямую (рис. 3).

Рис. 3

Способ 2. Для построения прямой достаточно знать координаты каких-либо двух точек, например, точек пересечения прямой с осями координат. Полагая в данном уравнении x = 0, имеем:

–2y – 6 = 0      2y = –6      y = –3.

Получаем А(0; –3) – точку пересечения прямой с осью Oy. При y = 0 находим:

3x – 6 = 0      3x = 6      x = 2.

Точка В(2; 0) – точка пересечения прямой с осью Ox. По двум точкам А(0; –3) и В(2; 0) строим искомую прямую (рис. 3).

б) Прямая 2x – 5y = 0 проходит через начало координат О(0; 0), так как ее уравнение не содержит свободного члена. Для построения найдем еще одну точку на этой прямой. Пусть, например, х = 5, тогда из уравнения прямой 2x – 5y = 0 определим:

2  5 – 5y = 0      10 – 5y = 0      5y = 10      y = 2

и получим точку E(5; 2). Через точки О(0; 0) и E(5; 2) проводим искомую прямую (рис. 4).

Рис. 4

в) Прямая 2y – 1 = 0 параллельна оси Ox, так как ее уравнение не содержит х. Из уравнения находим:

2y = 1      

и через точку параллельно оси Ox проводим искомую прямую (рис. 5).

Рис. 5

г) Так как в уравнении прямой 3x + 2 = 0 отсутствует y, то прямая параллельна оси Oy. Из уравнения находим:

3х = –2      

и через точку параллельно оси Oy проводим искомую прямую (рис. 6).

Рис. 6

д) Прямая 5y = 0 или y = 0 совпадает с осью Ox, так как в уравнении отсутствует х и свободный член.

е) Прямая 4x = 0 или x = 0 совпадает с осью Oy, так как в уравнении отсутствует y и свободный член.

П ример 3. Напишите уравнения прямых, изображенных на рис. 7.

а) б)

в) г)

Рис. 7

Решение. а) На чертеже изображена прямая, которая отсекает отрезки от осей координат, поэтому ее уравнение будем искать в виде (7). Видно, что a = –3, b = 2. Подставим эти значения в (7):

и после преобразований получим общее уравнение прямой:

2x – 3y + 6 = 0.

б) Прямая проходит через начало координат. Ее уравнение имеет вид:

Ax + By = 0. (*)

Найдем коэффициенты А и В. Точка М(1; 3) принадлежит этой прямой, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (*):

A1 + B3 = 0,

откуда следует, что

А = –3В. (**)

Подставим равенство (**) в уравнение (*):

–3Вx + By = 0      –В(3x – y) = 0.

Так как В  0, то, разделив на –В, получим искомое уравнение:

3x – y = 0.

в) Прямая параллельна оси Ox, ее уравнение

y = – 2.

г) Прямая параллельна оси Oy, ее уравнение

x = 2.

Замечание. В примере 3 уравнения первых двух прямых можно получить и с помощью уравнения вида (3) прямой, проходящей через две заданные точки. В пункте а) известны координаты точек пересечения с осями координат, а в пункте б) это точки О и М.