Лабораторная работа № 3. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов

1. Цель работы

Приобретение умений вычислять векторное и смешанное произведения векторов, решать задачи на геометрический и физический смысл.

2. Содержание работы

1) Вычислите векторное произведение векторов и (табл. 1). Решение оформите в тетради.

2) Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C и D. Вычислите площадь указанной грани (табл. 2). Решение оформите в тетради.

3) Сила приложена к точке B. Найдите модуль момента силы относительно точки А (табл. 3). Решение оформите в тетради.

4) Вычислите смешанное произведение векторов , и (табл. 1). Являются ли они компланарными? Решение оформите в тетради.

5) Найдите объем пирамиды ABCD (табл. 2). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1) 

2) вектор одновременно ортогонален вектору и

3) направление вектора таково, что если смотреть с его конца, то поворот от к на угол  совершается против часовой стрелки (рис. 1).

Рис. 1

Свойства векторного произведения:

1)  ,

2)  т.т.т. – условие коллинеарности в векторной форме,

3)  ,

4)  .

Пусть векторы и , тогда координаты вектора вычисляются по формуле:

. (1)

Пример 1. Найдите координаты вектора , если , .

Решение. По формуле (1) получим:

.

Ответ:  .

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

. (2)

Отсюда следует, что площадь треугольника, двумя сторонами которого служат векторы и равна

. (3)

Пример 2. Найдите площадь треугольника с вершинами А(1; 2; 0), В(3; 2; 1), С(–2; 1; 2).

Решение. Найдем координаты любых двух векторов, имеющих общее начало. Например, и .

Теперь вычислим векторное произведение векторов и по формуле (1):

.

Длина вектора равна:

.

Т.о. площадь АВС по формуле (3) будет равна:

(кв. ед.).

Ответ:   кв. ед.

Физический смысл векторного произведения состоит в том, что вращающий момент (ед. изм.: Ньютонметр) относительно точки A силы , приложенной к точке B, представляет собой векторное произведение вектора на вектор (рис. 2), т.е.

(4)

Рис. 2

Пример 3. Сила приложена к точке B(0; 2; 1). Определите момент этой силы относительно точки A(–1; 2; 3).

Решение. Найдем координаты вектора : . Вычислим векторное произведение векторов и по формуле (1):

.

Согласно формуле (4) момент .

Ответ:  .

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, обозначаемое и равное скалярному произведению вектора на вектор , т.е. .

Пусть векторы , и , тогда смешанное произведение вычисляется по формуле:

. (5)

Пример 4. Найдите смешанное произведение векторов , , .

Решение. Согласно формуле (5) получим:

.

Ответ:  .

Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов состоит в том, что его модуль численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах (рис. 3):

. (6)

Если на трех векторах строить треугольную пирамиду, то:

. (7)

Рис. 3

Пример 5. Вычислите объем пирамиды с вершинами в точках A₁(5; 1; –4), A₂(1; 2; –1), A₃(3; 3; –4), A₄(2; 2; 2).

Решение. Найдем координаты трех векторов, имеющих общее начало. Например, , , .

По формуле (5) вычислим смешанное произведение этих векторов:

.

Тогда по формуле (7) объем пирамиды равен:

(куб. ед.).

Ответ:   куб. ед.

Условием компланарности трех векторов является равенство:

или . (8)

Пример 6. Докажите, что три вектора , , компланарны.

Решение. Проверим выполнимость равенства (8):

. Что и требовалось доказать.