Лабораторная работа № 2. Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Формулы Крамера. Обратная матрица
1. Цель работы
Приобретение умений вычислять определители, находить миноры и алгебраические дополнения, решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера, находить обратные матрицы, в том числе и средствами математического пакета MathCAD.
2. Содержание работы
1) Вычислите определитель 2-го порядка (табл. 1). Решение оформите в тетради.
2) Вычислите определитель 3-го порядка матрицы A (табл. 2) двумя способами: по правилу треугольников и по теореме разложения. Решение оформите в тетради.
3) Найдите обратную матрицу A–1 матрицы A (табл. 2). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.
4) Используя программу MathCAD, вычислите определитель матрицы B (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.
5) Используя программу MathCAD, вычислите обратную матрицу B–1 матрицы B (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.
6) Найдите решение системы (табл. 4) по формулам Крамера и с помощью функции Find, используя программу MathCAD,. Выполненное задание отчитайте преподавателю.
3. Общие сведения и примеры выполнения заданий
Определителем
2-го порядка
матрицы
называется число, обозначаемое символами
,
det A,
|A|,
и вычисляемое по правилу:
.
Пример 1. 
.
Определителем
3-го порядка
матрицы
называется число, обозначаемое символами
,
det A,
|A|,
и вычисляемое по правилу Сарруса (правилу
треугольников):
.
Для лучшего запоминания правила треугольников приведем схему:
Пример 2. 
.
Аналогично определяются определители порядка старше третьего.
Минором элемента aij определителя n-го порядка называется число Mij, равное определителю порядка n–1, который получается из данного вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя n-го порядка называется число Aij, вычисляемое по формуле Aij = (–1)i+j Mij.
Пример 3. Минор
элемента а32 = 3
определителя
равен:
,
а алгебраическое дополнение этого
элемента равно
.
Теорема (разложения). 1) Для каждой квадратной матрицы А порядка n сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения равна определителю матрицы A. 2) Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения другой строки (или столбца) равна нулю.
Пример 4. 
.
В примере выбрана
третья строка, т.к. элемент
,
а это облегчает вычисление. По той же
причине можно выбрать второй столбец.
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:
где числа aij – коэффициенты системы, числа b1, b2, b3 – свободные члены, переменные x1, x2, x3 – неизвестные системы.
Решением системы называется упорядоченная тройка чисел (; ; ), при подстановке которых в систему вместо неизвестных каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.
Для нахождения
решения составим четыре определителя
3-го порядка:
,
,
,
.
Формулы Крамера получаются, если из
системы исключать последовательно по
две неизвестные, используя теорему
разложения для столбцов. В результате
при 0
получим формулы Крамера для решения
системы:
,
,
.
Пример 5. Решите
систему
по формулам Крамера.
Решение.
Составим и вычислим четыре определителя
3-го порядка:
,
,
,
.
По формулам Крамера
получим:
,
,
.
Ответ: (1; 2; 3).
Обратная матрица определяется в связи с необходимостью введения операции, аналогичной делению для решения матричных уравнений вида AX=B и XA=B, где X – неизвестная матрица.
Матрица A–1 называется обратной для квадратной матрицы A порядка n, если выполняются равенства A–1A = AA–1 = En, где En – единичная матрица порядка n.
Квадратная матрица A называется невырожденной, если |A|0. В противном случае матрица A называется вырожденной.
Теорема. Если
квадратная матрица
порядка n
невырожденная, то она имеет обратную
матрицу, которая вычисляется по формуле:
,
где Aij
– алгебраические дополнения элементов
aij
матрицы A
соответственно.
Пример 6. Найдите
обратную матрицу для матрицы
.
Решение. Вычислим
определитель исходной матрицы:
,
следовательно, матрица A
невырожденная и имеет обратную. Найдем
алгебраические дополнения всех элементов
матрицы A:
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
.
По теореме об обратной матрице получим:
.
Проверка:
– верно и
– верно.
Ответ: 
.
***
Настройка окон программы MathCAD для работы с матрицами:
На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то View Toolbars Math). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Matrix.
Для вычисления определителя или обратной матрицы:
Нажмите кнопку на панели Matrix.
В появившемся окне Insert Matrix укажите число строк (Rows) и столбцов (Columns) матрицы и щелкните на кнопке OK.
В появившемся поле введите элементы матрицы.
Используя клавиатуру, стрелкой выйдите за границы матрицы.
Для вычисления определителя матрицы нажмите кнопку на панели Matrix, а для нахождения обратной матрицы – кнопку на этой же панели.
Используя панель Calculator, нажмите знак «=». Для получения простых дробей вместо знака «=» нужно использовать знак «», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«».
Для решения систем линейных уравнений с помощью функции Find:
Введите с клавиатуры Given и нажмите Enter.
Введите заданную систему уравнений. Знак «=» следует вводить при помощи комбинации клавиш Ctrl+«=». В конце каждого уравнения нажмите Enter.
Введите с клавиатуры Find и в скобках через запятую укажите переменные, подлежащие определению. Например, Find(x,y,z).
Введите знак «», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«» и щелкните на свободном поле.