Лабораторная работа № 9. Наибольшее и наименьшее значения функции. Исследование функций и построение их графиков

1. Цель работы

Приобретение умений исследовать функции с помощью дифференциального исчисления и строить их графики, в том числе и средствами программы MathCAD.

2. Содержание работы

1) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [a; b] (табл. 1). Решение оформите в тетради.

2) Проведите полное исследование функции y = f(x) (табл. 2) и постройте ее график. Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

3) Используя программу MathCAD, постройте график функции y = f(x) (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

 Определение монотонных функций. Достаточные условия монотонности.

Пусть функция y = f(x) определена на интервале (a; b). Если для  х₁, х₂  (a; b), удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂, выполняются условия:

1) f(x₁) = f(x₂), то y = f(x) называется постоянной на (a; b), т.е. y = C;

2) f(x₁) < f(x₂), то y = f(x) называется возрастающей на (a; b);

3) f(x₁)  f(x₂), то y = f(x) называется неубывающей на (a; b);

4) f(x₁) > f(x₂), то y = f(x) называется убывающей на (a; b);

5) f(x₁)  f(x₂), то y = f(x) называется невозрастающей на (a; b);

Указанные в пунктах 1)-5) функции называются монотонными.

Теорема 1. (достаточные условия монотонности). Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Тогда, если  х  (a; b) выполняется условие:

1)  , то f(x) постоянна на (a; b);

2)  , то f(x) возрастает на (a; b);

3)  , то f(x) убывает на (a; b).

 Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Если при переходе через точку х₀ слева направо функция изменяется от возрастания к убыванию, то точка х₀ называется точкой максимума функции. Если же функция изменяется от убывания к возрастанию, то х₀ называется точкой минимума. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции и обозначается символом f_max(x₀) и f_min(x₀).

Теорема 2. (необходимые условия экстремума). Для того, чтобы непрерывная функция y = f(x) имела экстремум в точке х₀ необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю, т.е. или не существовала, т.е. .

Если выполняется , то точка х₀ называется точкой гладкого экстремума. При точка х₀ – точка острого экстремума.

Точки оси Ox, для которых выполняется теорема, называются критическими точками 1-го рода.

Наличие у функции критических точек 1-го рода, однако, не означает, что функция имеет в них экстремум. Поэтому нужно использовать достаточные признаки монотонности функции, позволяющие установить наличие экстремума и его характер (максимум или минимум).

Теорема 3. (достаточные условия экстремума). Если х₀ – критическая точка 1-го рода функции y = f(x) и при переходе через нее слева направо производная меняет свой знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то х₀ – точка минимума.

 Наибольшее и наименьшее значения функции.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Это может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке [a; b] рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки 1-го рода, в которых или .

3. Найти значение функции в критических точках и на концах отрезка, затем выбрать из них наибольшее и наименьшее значения и записать их в ответ.

Пример 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. 1) Находим производную: .

2) Находим критические точки, принадлежащие отрезку :

а) производная равна нулю, т.е. , при , но ;

б) производная не существует при и .

Вывод: получили две точки x = –1 и x = 0.

3) Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

, ,

, .

Выбираем наибольшее и наименьшее значения: y_наим.(–27) = –18, y_наиб.(–1) = 2.

Ответ. y_наим.(–27) = –18, y_наиб.(–1) = 2.

 Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Пусть функция y = f(x) на (a; b) имеет непрерывные производные и . График дифференцируемой на интервале (a; b) функции y = f(x) называется выпуклым, если на этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 1, а) и называется вогнутым, если он расположен выше любой своей касательной (рис. 1, б).

а) б)

Рис. 1

Теорема 4. (достаточные условия выпуклости и вогнутости). График функции y = f(x) является выпуклым на (a; b), если , и является вогнутым на этом интервале, если .

Точка графика M₀(x₀; f(x₀)) называется точкой перегиба, если в ней выпуклость графика функции меняется на вогнутость или наоборот.

Теорема 5. (необходимые условия существования точки перегиба). Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале (a; b) и в точке M₀(x₀; f(x₀)) график имеет точку перегиба, тогда или .

Точки оси Ox, для которых выполняется теорема, называются критическими точками 2-го рода.

Теорема 6. (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть x₀  (a; b) – критическая точка 2-го рода функции y = f(x). Тогда, если меняет знак при переходе через точку х₀, то M₀(x₀; f(x₀)) есть точка перегиба.

 Асимптоты графика функции.

Прямая линия называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от точки M(x; f(x)), лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при движении точки M(x; f(x)) вдоль ветви графика в бесконечность.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1) Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке a равен бесконечности, т. е. или .

Очевидно, что график функции имеет вертикальную асимптоту x = a, если точка a есть точка разрыва 2-го рода или граничная точка области определения функции.

2) Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если существует конечный предел .

Если конечен лишь один из односторонних пределов или , то график функции имеет соответственно правостороннюю y = b₁ или левостороннюю y = b₂ горизонтальную асимптоту. Если же b₁ = b₂, то асимптота называется двусторонней.

3) Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если существуют конечные пределы , или , соответственно.

В первом случае получается правосторонняя наклонная асимптота, во втором – левосторонняя. При совпадении этих пределов прямая y = kx + b является двусторонней наклонной асимптотой.

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты при k = 0. Поэтому если в каком-либо направлении график имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной асимптоты, и наоборот.

 Схема исследования функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции и указать ее точки разрыва, если они есть.

2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

3. Найти вертикальные асимптоты в точках разрыва функции и в граничных точках, и исследовать поведение функции вблизи вертикальных асимптот по односторонним пределам.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности посредством нахождения горизонтальных и наклонных асимптот.

5. Найти производную , интервалы монотонности, точки экстремума и экстремумы функции.

6. Найти вторую производную , интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, а также точки перегиба.

7. Найти точки пересечения графика с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

8. На основании проведенного исследования построить график в следующей последовательности: а) построить асимптоты; б) изобразить экстремумы, точки перегиба и точки пересечения графика с осями координат; в) соединить указанные характерные точки гладкими кривыми с учетом интервалов монотонности функции, интервалов выпуклости и вогнутости графика и наличия асимптот.

Пример 2. Проведите полное исследование функции и постройте ее график.

Решение. 1) Область определения функции – вся числовая прямая кроме точек , т. е. .

Т. к. выполняется

и , то точка является точкой разрыва 2-го рода. Аналогично, точка так же является точкой разрыва второго рода, т. к. и .

2) Т. к. на всей области определения функции выполняется , то функция является нечетной, следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

3) Т. к. точки – точки разрыва 2-го рода, то прямые являются вертикальными асимптотами. Т. к. и , то при стремлении к точкам слева по оси абсцисс, график функции возрастает, неограниченно приближаясь к вертикальным асимптотам и соответственно. Т. к. и , то при стремлении к точкам справа по оси абсцисс, график функции стремиться вниз, неограниченно приближаясь к вертикальным асимптотам и соответственно.

4) Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел , следовательно, горизонтальной асимптоты нет.

Наклонная асимптота задается уравнением y = kx + b.

Вычислим k и b:

,

.

Следовательно, прямая y = –x – наклонная асимптота.

5) Найдем первую производную функции:

.

Так как не существует в точках , которые не принадлежит области определения функции, то критическими точками первого рода являются только точки, в которых или , т. е. .

Критические точки и точки разрыва разбивают числовую ось Ox на 6 интервалов монотонности функции. По знаку производной в этих интервалах определяем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции. Полученные данные заносим в таблицу А.

Таблица А

x		–3				0				3	(3;+)
	–	0	+	не сущ.	+	0	+	не сущ.	+	0	–
f(x)		4,5		не сущ.		0		не сущ.		–4,5	
		min								max

6) Найдем вторую производную функции:

.

Так как точки разрыва не принадлежат области определения функции, то критическими точками второго рода являются точки, в которых , т.е. x = 0.

Критическая точка и точки разрыва разбивают числовую ось Ox на 4 интервала, в которых по знаку второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика и ординату точки перегиба. Полученные данные заносим в таблицу Б.

Таблица Б

x				0
	+	не сущ.	–	0	+	не сущ.	–
f(x)		не сущ.		0		не сущ.	
				т.п.

7) Для нахождения точек пересечения графика с осью Ox решим уравнение или , т.е. О(0; 0) – точка пересечения графика с осью абсцисс.

Для нахождения точек пересечения графика с осью Oy найдем значение функции при x = 0: , т.е. О(0; 0) – точка пересечения графика с осью ординат.

8) На основании проведенного исследования строим график в заданной последовательности (рис. 2).

Рис. 2

***

Настройка окон программы MathCAD для построения графиков функций в декартовой системе координат:

• На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то View  Toolbars  Math). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Graph.

Для построения графиков функций в декартовой системе координат:

• Введите уравнение функции, используя, если нужно, панель Calculator. Например, . Знак присваивания «:=» вводится с клавиатуры нажатием комбинации клавиш Shift+«:».

• Нажмите на кнопку на панели Graph, которая используется для построения графиков функций в декартовой прямоугольной системе координат.

• В появившемся шаблоне заполните все поля как показано на рисунке.

• Щелкните на свободном поле.

• При необходимости увеличьте размер рисунка, потянув мышкой за правый нижний уголок рамки.

• Изменяя вручную значения х и y можно получить график функции в «хорошем» качестве.

• Для получения на рисунке координатных осей двойным щелчком мыши по графику вызовите окно параметров Formatting Currently Selected Polar Plot и на вкладке X-Y Axes выберите стиль осей Crossed  OK.