Лабораторная работа № 8. Вычисление производных функций. Геометрический и физический смысл производной. Производные высших порядков

1. Цель работы

Приобретение умений дифференцировать функции, заданные явно, неявно и параметрически, находить производные высших порядков, решать задачи на геометрический и физический смысл производной, в том числе и средствами программы MathCAD.

2. Содержание работы

1) Вычислите производные функций y = f(x) (табл. 1, задания А, Б, В). Решение оформите в тетради.

2) Вычислите производные функций, заданных неявно и параметрически (табл. 2). Решение оформите в тетради.

3) Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х₀ (табл. 3). Решение оформите в тетради.

4) Вычислите вторые производные функций (табл. 1, задание Г и табл. 2, задание Б). Решение оформите в тетради.

5) Найдите скорость и ускорение в момент времени t₀ материальной точки, которая движется по закону S = S(t) (табл. 4). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

6) Используя программу MathCAD, найдите первую и третью производные функции y = f(x) (табл. 5). Выполненное задание отчитайте преподавателю.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной функции y = f(x) в точке х и обозначается или , т.е. (рис. 1).

Рис. 1

Таблица производных

1)  , где С – const. 8)  .

2)  , где  – действительное число. 9)  .

3)  , где a > 0, a  1. 10)  .

4)  . 11)  .

5)  , где a>0, a1. 12)  .

6)  . 13)  .

7)  . 14)  .

Правила дифференцирования

1)  .

2)  .

3)  , где C – const.

4)  .

5)  .

Пусть y = f(t), где t = (x). Тогда производная сложной функции y = f((x)) находится по правилу:

. (1)

Если сложная функция образована суперпозицией более двух функций, то формулу (1) нужно применить соответствующее число раз.

Пример 1. Найдите производную функции:

а)  ; б)  ; в)  .

Решение. а) Используем формулу (1) и таблицу производных. Получим:

.

б) Используем правило дифференцирования произведения двух функций, формулу (1) и таблицу производных. Получим:

.

в) Используем правило дифференцирования частного, формулу (1) и таблицу производных. Получим:

.

Ответ: а)  ; б)  ; в)  .

Если функция задана неявно, т. е. уравнением F(x; y) = 0, не разрешенным относительно y, то для нахождения производной нужно найти производные от левой и правой части уравнения, считая, что y(х) есть сложная функция от х, и полученное после этого уравнение разрешить относительно искомой производной .

Пример 2. Найдите производную функции, заданную неявно:

а) x² + 3xy – y³ = cos y – 1, б) х⁴ – ху + у⁴ = 1.

Решение. а) Помня, что y есть сложная функция от x и, применяя правила дифференцирования суммы, произведения, а также таблицу производных, получим:

,

,

,

,

,

,

.

б) Рассуждая аналогично, получим:

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: а)  , б)  .

Если функция задана параметрически где t – параметр, то производная находится по формуле:

. (2)

Пример 3. Найдите производную функции заданную параметрически.

Решение. Вычисляя по формуле (2), используем правило дифференцирования разности, формулу (1) и таблицу производных. Получим:

.

Указание. Преобразование получено по формуле понижения степени: .

Ответ:  .

Предельное положение секущей, когда точки M и N совпадут, называется касательной к графику функции y = f(x) в точке М (рис. 1).

Производная имеет геометрический смысл углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке М(x; f(x)). Если точка М имеет фиксированные координаты (x₀; f(x₀)), то и уравнение касательной примет вид:

. (3)

Прямая, проходящая через точку М(x₀; f(x₀)) перпендикулярно касательной, называется нормалью. Уравнение нормали имеет вид:

, (4)

если . При уравнение нормали имеет вид х = х₀.

Пример 4. Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х₀ = 3.

Решение. Найдем ординату точки х₀: .

Т.к. , то по геометрическому смыслу производной функции угловой коэффициент касательной, проведенной к графику этой функции в точке (3; 6) равен .

Уравнение касательной согласно формуле (3) имеет вид:

у – 6 = –5(х – 3) или у = –5х + 21.

По формуле (4) уравнение нормали имеет вид:

или или .

Ответ: у = –5х + 21 – уравнение касательной; – уравнение нормали.

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = S(t), где t – время движения, S(t) – путь, пройденный за время t. Производная от пути по времени имеет физический смысл мгновенной скорости при прямолинейном движении.

Пример 5. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где S – в метрах, t – в секундах. Найдите скорость движения данной точки в момент времени t₀ = 2 с.

Решение. Вычислим производную от пути по времени: . Согласно физическому смыслу производной скорость в момент времени t₀ = 2 с равна  м/с.

Ответ: 6 м/с.

Выражение называется дифференциалом функции f(x) в точке х₀ и обозначается символом , где по определению обозначено dx = x.

Дифференциал функции имеет геометрический смысл части приращения функции f(x) в точке х₀ при перемещении не по графику функции, а по графику касательной, проведенной в точке (x₀; f(x₀)) (рис. 2).

Рис. 2

Если дифференциал вычисляется в произвольной точке х, то . Отсюда следует другое обозначение производной как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Пример 6. Найдите дифференциал функции .

Решение. Вычислим производную:

.

Тогда дифференциал равен .

Ответ:  .

Пусть функция y = f(x) на интервале (a; b) имеет производную , которая также является функцией от х и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается символами .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается .

Аналогично определяются производные 4-го, 5-го и т. д. n-го порядка. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Производные 2-го порядка от функций, заданных неявно и параметрически, определяются аналогично как производные от производных первого порядка.

Пример 7. Найдите производную второго порядка функции:

а)  ; б) х² + у² = 1; в) 

Решение. а) Вычислим первую производную, используя формулу (1) и таблицу производных:

.

Теперь найдем вторую производную по правилу производной произведения, формуле (1) и таблицы производных:

.

б) Найдем первую производную функции, заданной неявно:

,

,

,

,

,

.

Найдем вторую производную:

.

в) Вычислим по формуле (2) первую производную функции, заданной параметрически: .

Вторую производную найдем по формуле

.

Ответ: а) ; б)  ; в)  .

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = S(t) со скоростью , где t – время движения, S(t) – путь, пройденный за время t. Вторая производная от пути по времени имеет физический смысл ускорения точки при ее прямолинейном и неравномерном движении. Если же точка движется равномерно, т.е. с постоянной скоростью V(t) = const, то .

Пример 8. Дано уравнение движения некоторой точки , где S – в метрах, t – в секундах. Найдите ускорение этой точки в момент времени t₀ = 3 с.

Решение. Найдем вторую производную от пути по времени: , . Тогда по физическому смыслу второй производной ускорение точки равно: м/с².

Ответ: м/с².

Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка и обозначается . Аналогично определяются дифференциалы 3-го, 4-го и т. д. порядка. Отсюда следует другое обозначение производных высших порядков: , и т. д.

Пример 9. Вычислите дифференциал второго порядка функции .

Решение. Найдем первую и вторую производные:

,

.

Т. о., дифференциал второго порядка равен:

.

Ответ:  .

Правило Лопиталя. Пусть отношение представляет собой неопределенность вида или при х  х₀, где х₀ – точка или . Тогда предел отношения функций равен пределу отношения их производных: . Если отношение вновь представляет собой неопределенность вида или , то правило Лопиталя можно применить повторно до исчезновения неопределенности и, вообще говоря, любое конечное число раз.

Пример 10. Найдите по правилу Лопиталя.

Решение. 

.

Указание. Правило Лопиталя использовали два раза.

Ответ:  .

***

Настройка окон программы MathCAD для вычисления производных функций:

• На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то View  Toolbars  Math). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Calculus.

Для вычисления производной функции:

• Выберите нужную кнопку или на панели Calculus. Первая кнопка используется для вычисления первой производной, а вторая – для производной высшего порядка.

• В появившемся шаблоне заполните все поля, используя, если нужно, панель Calculator.

• Введите знак «», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«» и щелкните на свободном поле.