Лабораторная работа № 6. Построение линий в полярной системе координат. Построение на плоскости линий, заданных параметрически

1. Цель работы

Приобретение умений построения линий в полярной системе координат и линий, заданных параметрически, в том числе и средствами программы MathCAD.

2. Содержание работы

1) Постройте заданные точки в полярной системе координат (табл. 1). Решение оформите в тетради.

2) Определите вид кривых (табл. 2, задания А и Б) и постройте их в полярной системе координат. Решение оформите в тетради.

3) Определите вид кривой (табл. 3, задание А) и постройте ее в декартовой прямоугольной системе координат. Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

3) Используя программу MathCAD, постройте линию в полярной системе координат (табл. 2, задание В) и в декартовой прямоугольной системе координат (табл. 3, задание Б). Выполненное задание отчитайте преподавателю.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Зафиксируем на плоскости точку О и назовем ее полюсом. Из полюса проведем полуось Op, на которой выберем масштаб и назовем ее полярной полуосью. Такая совокупность называется полярной системой координат на плоскости.

П оложение произвольной точки М на плоскости однозначно определяется двумя числами: r=|OM|, называемое полярным радиусом точки М ( ) и , называемое полярным углом точки М ( или ) (рис. 1).

Рис. 1

Числа r и , взятые в указанной последовательности, называются полярными координатами точки М. Обозначение: М(r; ).

Полярный радиус точки О равен нулю, а ее полярный угол не определен.

На практике обычно приходится решать обратную задачу: по данным полярным координатам построить точку, причем в этом случае координаты не всегда удовлетворяют ограничениям для r и . Если угол  принимает отрицательные значения, то он отсчитывается от полярной полуоси в отрицательном направлении (по часовой стрелке), а если его значение превышает по модулю 2, то следует сделать нужное количество полных оборотов, чтобы упростить. Если r принимает отрицательные значения, то после поворота полярной полуоси на угол  для построения точки М надо отложить отрезок длиной | r | на продолжении полярной полуоси за полюс.

Пример 1. Постройте точки , , и в полярной системе координат. Решение показано на рис. 2.

Рис. 2

Для построения кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = r(), необходимо составить таблицу значений  и r в нескольких характерных точках, изучить поведение переменной r при переходе от одной точки к другой и соединить эти точки плавной линией.

Пример 2. Постройте кардиоиду .

Решение. Так как полярный угол входит в уравнение только как аргумент тригонометрической функции косинус с периодом 2, то достаточно рассмотреть значения  от 0 до 2. Составим таблицу:

	0				
r	2	1,7	1	0,3	0
Точка	М1	М2	М3	М4	М5

Нанесем полученные точки на чертеж (рис. 3).

Рис. 3

Легко видеть, что при повороте полярного радиуса ОМ₁ против часовой стрелки точка М движется по нему, приближаясь к полюсу и последовательно занимая положения М₁, М₂, М₃, М₄, М₅. В силу четности функции косинус при повороте ОМ₁ по часовой стрелке движение точки М будет таким же. Соединяя точки плавной кривой, получаем кардиоиду (рис. 4).

Рис. 4. Кардиоида

Замечание. 1) Уравнения , , также задают кардиоиду, но расположенную иначе (рис. 5).

2 ) Уравнения , , где а – некоторое число, задают кардиоиды аналогичные рис. 5.

а)  б)  в) 

Рис. 5. Кардиоиды

Пример 3. Постройте спираль Архимеда r = a, где a > 0.

Решение. Составим таблицу:

	0					2
r	0	а	а	а	а	а2
Точка	О	М1	М2	М3	М4	М5

Нанесем точки на чертеж и соединим их плавной линией (рис. 6).

Рис. 6. Спираль Архимеда r = a, a > 0

Ясно, что при дальнейшем повороте полярного радиуса ОМ точка М будет неограниченно удаляться по нему от полюса.

Пример 4. Постройте трехлепестковую розу .

Решение. Составим таблицу:

	0						
r	0	1	0	–1	0	1	0
Точка	0	М1	0	М2	0	М3	0

Если нанести на чертеж только эти точки, то непонятно, какой кривой их соединить. Изучим поведение функции r при изменении  от 0 до . При этом sin 3, а значит и r, монотонно растет от 0 до 1. Значит, при повороте полярного радиуса точка М удаляется по нему от точки О до точки М₁. При дальнейшем повороте точка приближается по полярному радиусу от М₁ к 0, затем переходит через точку О на продолжение полярного радиуса и удаляется до точки М₂, затем снова приближается до О и удаляется до М₃, снова возвращаясь к 0. Получаем кривую, изображенную на рис. 7, а.

Замечание. 1) Уравнение также задает трехлепестковую розу, но повернутую на угол по часовой стрелке (рис. 7, б).

2) Уравнения , , где а – некоторое число, задают трехлепестковые розы других размеров, но той же формы.

а)  б) 

Рис. 7. Трехлепестковые розы

Пример 5. Постройте четырехлепестковую розу: а)  , б)  .

Решение показано на рис. 8. Точки М₁, М₂, М₃, М₄, М₅ соответствуют значениям .

Замечание. Уравнения , , где а – некоторое число, задают четырехлепестковые розы других размеров, но той же формы.

а)  б) 

Рис. 8. Четырехлепестковые розы

Пример 6. Постройте окружность , где a > 0.

Решение. Составим таблицу:

	0								
r	а				0				–а
Точка	М1	М2	М3	М4	М5	М6	М7	М8	М9

С оединяя точки плавной кривой, получаем окружность (рис. 9). Если придать аргументу  значения от  до 2, то точка М пробегает эту окружность еще раз.

Рис. 9. Окружность , где a > 0

Замечание. Уравнения , , , где а > 0, задают окружности, показанные на рис. 10.

а)  б)  в) 

Рис. 10. Окружности

Функциональная зависимость между двумя величинами не всегда задается в явном виде формулой . Одним из видов неявного задания функции является параметрическое. В этом случае величины х и у задаются как некоторые функции параметра t: При этом каждому значению t₀ параметра t из общей области определения функций x(t) и y(t) соответствуют определенные значения x₀ = x(t₀) и y₀ = y(t0).

Для того, чтобы лучше понять, как задается эта функциональная зависимость, можно представить себе параметр t как время, а переменные х и у – как координаты движущейся точки М. При этом в момент времени t₀ точка М занимает положение M(x₀; y₀), где x₀ = x(t₀), y₀ = y(t₀).

Вообще говоря, параметр t может иметь совсем другой смысл, например, угла, длины дуги и т.д.

Для построения графика параметрически заданной функции надо найти значения x, y при некоторых фиксированных значениях параметра t и посмотреть, как меняются значения x и y.

Пример 7. Постройте астроиду

Решение. Так как косинус и синус – периодические функции с периодом 2, то достаточно построить график при t  [0; 2], т.к. при остальных значениях параметра t эта кривая будет проходиться точкой М повторно.

Пусть t₁ = 0, тогда x₁ = cos³0 = 1, y₁ = sin³0 = 0 и мы получим точку М₁(1; 0). При имеем: , , М₂(0; 1). Как движется точка М при переходе от М₁ к М₂? Когда t меняется от 0 до , то cos t (а вместе с ним и x = cos³t) непрерывно уменьшается от 1 до 0, а sin t (а вместе с ним и y = sin³t) непрерывно увеличивается от 0 до 1, т.е. точка М движется от М₁ влево и вверх к точке М₂ по непрерывной кривой. Для уточнения ее формы возьмем несколько значений , нанесем соответствующие значения x и y на график и соединим их плавной линией. Аналогично построим оставшуюся часть астроиды (рис. 11).

Рис. 11. Астроида

Замечание. Уравнения , где а, b > 0 – некоторые числа, задают астроиды других размеров. В первом случае форма сохраняется, а во втором случае астроида сжата к оси абсцисс, если a > b и сжата к оси ординат, если b > a.

Пример 8. Постройте циклоиду

Решение. При t₁ = 0 получаем М₁(0; 0). При получаем . При t₃ =  получаем М₃(; 2). Если t изменяется от 0 до , то точка М переходит из М₁ в М₂, двигаясь вправо и вверх, а если t изменяется от до , то точка М переходит из М₂ в М₃, двигаясь вправо и вниз по непрерывной кривой. Для уточнения ее формы возьмем несколько значений t. Нанося полученные точки и соединяя их плавной линией, получим дугу, которая называется одной аркой циклоиды. Если продолжить строить точки, то получим общий вид циклоиды (рис. 12).

Рис. 12. Циклоида

Указание. Уравнения где а > 0 – некоторое число, задают циклоиду другого размера, но такой же формы.

Пример 9. Постройте эллипс где a, b > 0 – некоторые числа.

Решение. Так как функции косинус и синус имеют период 2, то достаточно построить график при t  [0; 2].

При t₁ = 0 получаем М₁(а; 0). При получаем М₂(0; b). При изменении t от 0 до точка М переходит из М₁ в М₂, двигаясь влево и вверх по непрерывной кривой. Для уточнения ее формы возьмем несколько значений , нанесем соответствующие точки (x; y) на график и соединим их плавной линией. Аналогично рассуждая, достроим эллипс. При a > b эллипс сжимается к оси абсцисс (рис. 13), а при a < b он сжимается к оси ординат.

Рис. 13. Эллипс где a > b

Указание. При a = b получаем параметрические уравнения окружности с центром в начале координат и радиусом а:

***

Настройка окон программы MathCAD для построения линий в полярной и декартовой системах координат:

• На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки , и (если главной панели инструментов на экране нет, то View  Toolbars  Math). Первая кнопка открывает панель Calculator, вторая – панель Graph, а третья – панель Greek Symbol.

Для построения линий в полярной и декартовой системах координат:

• Введите уравнения линий, используя, если нужно, панель Calculator. Образец для линии в полярной системе координат: r():=5cos(), где  находится на панели Greek Symbol. Образец для линии, заданной параметрически: . Знак присваивания «:=» вводится с клавиатуры нажатием комбинации клавиш Shift+«:».

• Нажмите на нужную кнопку или на панели Graph, первая из которых используется для построения линий в полярной системе координат, а вторая – для построения линий, заданных параметрически, в декартовой прямоугольной системе координат.

• В появившемся шаблоне заполните все поля как показано на примере.

• Щелкните на свободном поле.

• При необходимости увеличьте размер рисунка, потянув мышкой за правый нижний уголок рамки.

• Для получения на рисунке координатных осей двойным щелчком мыши по графику вызовите окно параметров Formatting Currently Selected Polar Plot и на вкладке Polar Axes / X-Y Axes выберите стиль осей Crossed  OK.