Министерство образования и науки РФ

Волжский институт строительства и технологий

(филиал)

Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета

кафедра «Высшая математика»

лабораторный практикум по математике с информационной поддержкой

(использование программы mathcad):

методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов 1 курса по направлению 270800.62 «Строительство» (квалификация (степень) «бакалавр»)

Волжский 2012

УДК 51 : 004.9

Лабораторный практикум по математике с информационной поддержкой (использование программы MathCAD) : методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов 1 курса по направлению 270800.62 «Строительство» (квалификация (степень) «бакалавр») / ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ; [сост. Е. В. Абрамов, В. Н. Торопшина]. – Волжский: ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ, 2012. – 117 с.

Методические указания содержат 9 лабораторных работ по основным разделам математики, изучаемые студентами 1 курса по направлению 270800.62 «Строительство» (квалификация (степень) «бакалавр»). Каждая лабораторная работа включает в себя варианты индивидуальных заданий, образцы их выполнения и необходимые для этого краткие теоретические сведения. Большое внимание уделяется решению математических задач с помощью программы MathCAD с целью вооружить бакалавров-строителей знаниями компьютерных технологий для реализации будущей профессиональной деятельности.

Библиогр. 7 Табл. 31 Ил. 42

Содержание

Лабораторная работа № 1. Операции над матрицами…………………………………………..	4
Лабораторная работа № 2. Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Формулы Крамера. Обратная матрица…………..	14
Лабораторная работа № 3. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов…………………………..	25
Лабораторная работа № 4. Прямая на плоскости………………………………………………...	32
Лабораторная работа № 5. Кривые второго порядка………….....................................................	41
Лабораторная работа № 6. Построение линий в полярной системе координат. Построений на плоскости линий, заданных параметрически........	58
Лабораторная работа № 7. Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы………………..............................................	72
Лабораторная работа № 8. Вычисление производных функций. Геометрический и физический смысл производной. Производные высших порядков……………………………………..	88
Лабораторная работа № 9. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Исследование функций и построение их графиков………………..	104
Список литературы…………………………………………………..	116

Лабораторная работа № 1. Операции над матрицами

1. Цель работы

Приобретение умений выполнять линейные и нелинейные операции над матрицами, в том числе и средствами математического пакета MathCAD.

2. Содержание работы

1) Найдите A + B, A, A – B, AB, A^T для заданных матриц A, B и числа  (табл. 1). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

2) Используя программу MathCAD, найдите матрицу где Е₂ – единичная матрица, транспонированная матрица, а матрицы A, B и С заданы в табл. 2. Выполненное задание отчитайте преподавателю.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Числовой матрицей или просто матрицей называется прямоугольная таблица чисел a_ij, состоящая из m строк и n столбцов: . Числа a_ij называются элементами матрицы. Первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца, в котором стоит элемент.

Числа m и n называются размерностью (порядком) матрицы.

Если m  n, то матрица называется прямоугольной размера mn.

Если m = 1, то матрица называется матрицей-строкой размера 1n.

Если n = 1, то матрица называется матрицей-столбцом размера m1.

Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол. Побочной называется диагональ, идущая из левого нижнего в правый верхний.

Квадратная матрица, у которой главная диагональ состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной порядка n и обозначается: .

Прямоугольная матрица размера mn называется нулевой, если все ее элементы равны нулю и обозначается: .

Две матрицы A и B одинакового размера mn называются равными, если соответствующие элементы этих матриц равны, т.е a_ij = b_ij. Обозначение: A = B.

Пример 1. Матрицы и равны.

Линейные операции над матрицами.

1) Суммой двух матриц A и B одинакового размера mn называется матрица C того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. c_ij = a_ij + b_ij. Обозначение: C = A + B.

Пример 2. 

.

2) Произведением матрицы A размера mn на действительное число  называется матрица C того же размера mn, элементы которой равны соответствующим элементам матрицы A, умноженным на число , т.е. c_ij = a_ij. Обозначение: C = A.

Пример 3.  .

3) Разностью двух матриц A и B одинакового размера mn называется матрица C того же размера, элементы которой равны разностям соответствующих элементов матриц A и B, т.е. c_ij= a_ij – b_ij. Обозначение: C = A – B.

Пример 4. 

.

Основные свойства линейных операций над матрицами.

1) A + B = B + A. 6) ( + )A = A + A.

2) (A + B) + C = A + (B + C). 7) (A) = (A) = ()A.

3) A + O = O + A = A. 8) 1A = A.

4) A – A = O. 9) 0A = O.

5) (A + B) = A + B.

Нелинейные операции над матрицами.

1) Произведением матрицы A размера mn на матрицу B размера nk называется матрица C размера mk, каждый элемент c_ij которой равен сумме произведений элементов i-строки матрицы A на элементы j-го столбца матрицы B. Обозначение: C = AB.

Пример 5. а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д) произведение матриц и не определенно, т.к. количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы.

Квадратные матрицы A и B порядка n называются коммутативными, если AB = BA.

Пример 6. Матрицы и коммутативны, т.к. выполняется .

2) Целой положительной степенью A^k (k > 1) квадратной матрицы A называется произведение k матриц, равных A, т.е. .

По определению полагают: A⁰ = E_n, A¹ = A, A^k  A^s = A^k + s, (A^k)^s = A^k  s.

Пример 7. Если , то .

3) Если в матрице A размера mn заменить строки соответствующими столбцами, то получится матрица размера nm, которая называется транспонированной к матрице A и обозначается A^T.

Пример 8. а) Если , то ;

б) если , то ;

в) если , то .

Основные свойства нелинейных операций над матрицами.

1) (AB)C = A(BC). 6) (AB)^T = B^TA^T.

2) A(B + C) = AB + AC. 7) (A)^T = A^T.

3) (B + C)A = BA + CA. 8) (A^T)^T = A.

4) AE_n = E_nA = A. 9)  .

5) (A+B)^T = A^T + B^T.

***

Настройка окон программы MathCAD для работы с матрицами:

• На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то View  Toolbars  Math). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Matrix.

Для ввода матриц в рабочее поле и выполнения действий над ними:

• Нажмите кнопку на панели Matrix.

• В появившемся окне Insert Matrix укажите число строк и столбцов матрицы и щелкните на кнопке OK.

• В появившемся поле введите элементы матрицы.

• Используя клавиатуру, стрелкой выйдите за границы матрицы и, используя панель Calculator, введите нужную операцию.

• Операции над матрицами выполняются так же, как и действия с числами на калькуляторе: используются знаки «+» и «» для сложения матриц и умножения матрицы на число, умножения матриц. Для получения в ответе простых дробей вместо знака «=» нужно использовать знак «», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«».