2.2. Канонический вид злп

Если в системе ограничений задачи (1.2) присутствуют только уравнения, а свободные члены в системе ограничений задачи являются неотрицательными, то говорят, что задача имеет канонический вид. Согласно 1.2.2 первой части, любая смешанная система приводится к системе уравнений добавлением дополнительных неотрицательных переменных со знаком «+» в неравенства типа «≤» и со знаком «» в неравенства типа «≥». Поэтому для приведения к каноническому виду задачи линейного программирования поступаем следующим образом:

1. Если в системе ограничений задачи имеется ограничение с отрицательной правой частью, то умножаем его на 1.

2. Добавляем в каждое неравенство дополнительные неотрицательные переменные: со знаком «+» в неравенства типа «≤» и со знаком «» в неравенства типа «≥».

Таким образом,

2.2.1. ОЗЛП (1.2) приводится к каноническому виду

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_nmax(min)

2.2.2. ЗЛП (1.4) приводится к каноническому виду

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_nmax

А также

2.2.1. ЗЛП (1.5) приводится к каноническому виду

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_nmin

В любом случае можно считать, что ЗЛП имеет канонический вид

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_nmax(min)

(2.1)

Если A=(a_ij)  матрица системы ограничений задачи, X=(x₁, x₂, …, x_n)^T  столбец переменных, B=(b₁, b₂, …, b_n)^T  столбец свободных членов системы ограничений и C=(c₁, c₂, …, c_n)  вектор коэффициентов целевой функции, то задачу (2.1) можно записать в матричной форме:

CXmax(min)

AX=B, X≥O.

Обозначим через A₁, A₂, …, A_n соответственно 1-й, 2-й, …, n-й столбцы матрицы A. Тогда задачу (1.6) можно записать в векторной форме:

CXmax(min)

A₁x₁+A₂x₂+…+A_nx_n=B,

X≥O.

2.3. Упражнение. Привести к каноническому виду задачи линейного программирования из предыдущих заданий 1)  3), выписать их матрицы ограничений, столбцы свободных членов, векторы условий, векторы коэффициентов целевых функций, и записать задачи в матричной и векторной формах.

Решение. 1г) 4x₁+x₂min(max)

Правая часть первого неравенства  отрицательная. Поэтому первое неравенство умножаем на 1:

Теперь все неравенства ограничений имеют тип «». Поэтому во все эти неравенства вводим дополнительные неотрицательные переменные, соответственно x₃, x₄, x₅:

Таким образом, канонический вид задачи  следующий:

4x₁+x₂  max

Матрица ограничений (выписываем для канонического вида): ,  столбец свободных членов, A₁= , A₂ = , A₃= , A₄= , A₅=  векторы условий, (4, 1, 0, 0, 0)  вектор коэффициентов целевой функции,  = , O  матричная форма записи задачи, x₁+ x₂+ x₃+ x₄+ x₅= 

 векторная форма записи задачи.

§3. Теоретические основы решения злп. Геометрическая интерпретация злп. Идея аналитического решения

3.1. Теоретические основы решения злп

Векторы A₁, A₂, …, A_n называются векторами условий.

Напомним, что базисным решением системы уравнений называется любое решение, в котором базисные переменные (неизвестные) выражены через свободные. Под базисным решением мы будем подразумевать такое базисное решение, в котором значения свободных переменных равны нулю.

Решение системы ограничений ЗЛП называется допустимым решением ЗЛП. Другими словами, для ЗЛП в канонической форме допустимое решение ЗЛП  это решение системы уравнений ограничений задачи, координаты которого неотрицательны. Множество допустимых решений ЗЛП называется областью допустимых решений.

3.1.1. Область допустимых решений ЗЛП (1.6) является многогранником в Rⁿ. В частности, она является замкнутым выпуклым множеством в Rⁿ с конечным числом угловых точек.

3.1.2. Целевая функция ЗЛП достигает экстремума в угловой точке области допустимых решений. При этом, если целевая функция достигает экстремума в нескольких угловых точках области допустимых решений, то она также достигает экстремума в любой выпуклой линейной комбинации этих точек.

Опорным решением ЗЛП называется допустимое базисное решение.

3.1.3. Допустимое решение ЗЛП является опорным тогда и только тогда, когда векторы условий, соответствующие положительным координатам решения, являются линейно независимыми.

Если число отличных от нуля координат опорного решения равно m (то есть рангу системы), то решение называется невырожденным. В противном случае оно называется вырожденным.

Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий задачи, в состав которого входят векторы, соответствующие отличным от нуля координатам.

3.1.4. Любое опорное решение ЗЛП является угловой точкой области допустимых решений, и, обратно, любая угловая точка области допустимых решений является опорным решением ЗЛП.