3.3. Синтез управления системы с неопределенными нелинейностями и внешними неопределенными ограниченными возмущениями
Задача синтеза управления в виде обратной связи по состоянию , стабилизирующего замкнутую систему и подавляющего начальные отклонения и воздействие внешних возмущений в смысле минимальности ограничивающего эллипсоида для выхода z сводится к оптимизации критерия при ограничениях в виде дифференциальных линейных матричных неравенств. В качестве критерия берется след матрицы, определяющей размер инвариантного или ограничивающего выход эллипсоида.
Теорема 3.3. Решение задачи
при ограничениях
,
(12)
, (13)
где минимизация проводится
по матричным переменным
,
скалярной переменной β>0 и скалярному
параметру
,
определяет при каждом
матрицу
ограничивающего эллипсоида для вектора
состояния x(t),
матрицу
ограничивающего эллипсоида для вектора
выхода z(t)
системы (3.1) и зависимую от времени
матрицу коэффициентов соответствующего
регулятора по состоянию
.
Если, кроме того, матрица
удовлетворяет дополнительно ограничениям
и
для всех
,
где R и S(t)
– заданные положительно определенные
симметрические матрицы, то искомый
регулятор обеспечивает ограниченность
замкнутой системы относительно множеств
[E(R),
Ew(I),
E(S(t))]
при всех нелинейностях из (3.2).
В случае неполного измерения вектора состояния для реализации закона управления в виде обратной связи по состоянию могут быть использованы наблюдатели состояния, рассмотренные в п.2.1 и 2.2.
Рассмотрим снова пример
из п.3.1, в котором вместо конкретной
нелинейности
присутствует неопределенная нелинейность
,
удовлетворяющая неравенству (3.2) с
параметрами
и
и
.
Ниже представлен текст программы на входном языке пакета MatLab для синтеза регулятора по состоянию на основе решения задачи оптимизации с линейными матричными неравенствами
% Пример синтеза, оценивания состояния и моделирования
%--Исходные данные -- модель с неопределенными нелинейностями и возмущениями
% Параметры регулятора u=k1x2+k2x4
% вектор состояния x=(x1,x2)T
n=2;
n1=n;
%параметры
w=0.5;
mu1=1;
%--матрицы системы---
A = [0 1; 0 0];
B1 = [0; 1];
D=[0; 1];
C=[1 0;0 1;0 0];
B2=[0; 0;1];
F=[0; -w*w];
CF=[1; 0];
eig(A)
% Синтез регулятора по состоянию на основе решение линейных матричных
% неравенств
step = 0.1;
begin_val = 0.4;%0.1;%
end_val = 2.0;%0.2;%-min(eig(A-B*K));
min_tr_Q = 1000000;
figure (1)
% Оптимизация по параметру q путем перебора с уменьшающимся шагом
while step>0.001
for q = begin_val:step:end_val
cvx_begin sdp
variable Qs(n1, n1) symmetric;
variable Zs(1,1) symmetric;
variable Ys(1, n1) ;
variable bet ;
minimize( trace(C*Qs*C'+C*Ys'*B2'+B2*Ys*C'+B2*Zs*B2'))
%minimize( trace(Qs))
subject to
Qs >= eye(2)*10e-3;
[A*Qs + Qs*A'+B1*Ys+Ys'*B1'+q*Qs+bet*(F*F') D Qs*CF;
D' -q 0;
CF’*Qs 0 -(bet/mu1)]< 0; %условие асимптотической устойчивости
[Zs Ys;
Ys' Qs]>=0;
% [Qs eye(4); eye(4) 1500*eye(4)]>0;
%norm(Ys, 'fro')<=1000;
cvx_end
Qsf = double(Qs)
Y=double(Ys)
K=Y/Qsf
Z=double(Zs);
ABK=A+B1*K
eig(ABK)
%trZ=trace(Qsf);
trZ=trace(C*Qsf*C'+C*Y'*B2'+B2*Y*C'+B2*Z*B2');
if min_tr_Q > trZ
min_tr_Q = trZ
Q_min = Qsf;
K_min=K;
q_min = q
bet_min=bet;
end;
end;
step = step*0.5;
begin_val = q_min-2*step;
end_val = q_min+2*step;
end;
Qsf=Q_min
K=K_min
q=q_min
bet=bet_min;
ABK=A+B1*K;
bet1=bet;
ABKI=ABK;
beti=bet;
С помощью данной
программы при q=2.697, β=0.1352 была найдена
матрица K=[–9.1806
–5.8861] -коэффициентов регулятора по
состоянию. При этом матрица замкнутой
системы
имеет собственные значения –2.9431±0.7204i
-и является гурвицевой. Получена
следующая матрица минимального
предельного инвариантного эллипсоида:
.
Также с помощью решения
задачи оптимизации с ЛМН была получена
матрица
максимального инвариантного эллипсоида,
лежащего в области притяжения исходной
нелинейной системы. Для этого использовался
следующий фрагмент программы
% Решение линейных матричных неравенств инвариантный эллипсоид из области
% притяжения матричной СС (с Регулятором по состоянию)
cvx_begin sdp
variable Qs(n1, n1) symmetric;
minimize(trace(-Qs))
subject to
Qs >= eye(2)*10e-2;
[ABK*Qs + Qs*ABK'+q*Qs+bet1*(F*F') D Qs*CF;
D' -q 0;
CF’*Qs 0 -(bet/mu1)]< 0; %условие асимптотич устойчивости
cvx_end
Qsf1 = double(Qs)
E = ellipsoid(Qsf);
%pEs = projection(E, BB);
plot(E,'b'); hold on;grid on;
E = ellipsoid(Qsf1);
%pEs = projection(E, BB);
plot(E,'r'); hold on;grid on;
На рисунке 3.1 показаны минимальный предельный инвариантный эллипс и максимальный инвариантный эллипс из области притяжения исходной системы.
Рисунок 3.1. Минимальный предельный инвариантный эллипс (синяя сплошная линия) и инвариантный эллипс из области притяжения (красная сплошная линия)
Рисунок 3.2. Сечения эволюционирующего инвариантного эллипса
На рисунке 3.2 показаны сечения эволюционирующего инвариантного эллипса, полученные на основе численного интегрирования МСС с начальной матрицей
.
Частное решение МСС
сошлось за T<10c
к минимальному инвариантному эллипсу
с матрицей
.
Программа для построения эллипсоидальных
оценок с помощью МСС представлена ниже.
Q=(Qsf01+Qsf1)/2;
vec_Q = [Q(:,1); Q(:,2)];
[t,H] = ode15s(@PravSyntLMI25102014,[0 10],vec_Q);
hs = size(H);
MQ1 = [];
nh=length(H(:,1))
t(nh)
nn=1
figure (11)
for i = 1:nn:nh
MQ1 = [H(i,1) H(i,2); H(i,3) H(i,4)];
MQ1=(MQ1+MQ1')/2;
E = ellipsoid(MQ1);
%pEs = projection(E, BB);
plot(E, 'b');grid on;hold on;
end;
plot(E, 'r');grid on;hold on;
Для вычисления правой части матричной системы сравнения используется следующая функция.
function dQ=PravSyntLMI25102014(t,vec_Q)
% Вычисление правой части матричной системы сравнения и определение матрицы
% коэффициентов усиления регулятора в текущий момент времени
global ABK D q bet mu1 F CF
Q = [ vec_Q(1) vec_Q(2); vec_Q(3) vec_Q(4)];
dQQ= ABK*Q + Q*ABK' +q*Q+(D*D')/q+bet*(F*F')+mu1*Q*(CF*CF')*Q/bet;
dQQ=(dQQ+dQQ')/2;
dQ = reshape(dQQ,4,1);
На основе теоремы 3.3 был получен регулятор в виде обратной связи по состоянию с зависимыми от времени коэффициентами усиления. Для этого были решены на интервале [0,10c] ДЛМН (12) с начальной матрицей
и с оптимизацией на каждом шаге ограничивающего эллипсоида для выхода при ограничениях ЛМН (13). Текст программы для численного решения ДЛМН (12) с ЛМН (13) с оптимизацией на каждом шаге дискретизации представлена ниже.
k=1;
kend=200;
e=0.1;
t(k)=0;
figure (2)
Q0=Qsf1+[0.5 0;0 2];
KK=[];
while k<kend
E = ellipsoid(Q0);
% pEs = projection(E, BB);
plot(E, 'b');grid on;hold on;
t(k)=(k-1)*e;
cvx_begin sdp
variable Qs(n1, n1) symmetric;
variable Zs(1,1) symmetric;
variable Ys5(1, n1) ;
variable bet5 ;
minimize( trace(C*(Q0-Qs*e)*C'+C*Ys5'*B2'+B2*Ys5*C'+B2*Zs*B2'))
%minimize( trace(Q0-Qs*e))
subject to
Qs >= Q0/4;
%(Q0-Qs*e)>=0;
[Qs+(A*(Q0-Qs*e)+(Q0-Qs*e)*A'+B1*Ys5+Ys5'*B1'+q*(Q0-Qs*e)+bet5*(F*F')) D (Q0-Qs*e)*CF;
D' -q 0;
CF'*(Q0-Qs*e) 0 -(bet5/mu1)]< 0; %условие асимптотич устойчивости
[Zs Ys5;
Ys5' Q0-Qs*e]>=eye(3)*10e-5;
cvx_end
Qsf5 = double(Qs);
Y5=double(Ys5);
bet05=double(bet5);
betk(k)=bet05;
Q0=Q0-Qsf5*e
E = ellipsoid(Q0);
plot(E, 'b');grid on;hold on;
K5=Y5/Q0;
KK1(k)=K5(1);
KK2(k)=K5(2);
ABK5=A+B1*K5;
%eig(ABK5);
k=k+1;
tk=k*e
end;
E = ellipsoid(Q0);
plot(E, 'r');grid on;hold on;
figure (7)
plot(t,betk,'r');grid on;hold on;
plot(t,KK1,'b');grid on;hold on;
plot(t,KK2,'g');grid on;hold on;
На рисунке 3.3 показаны эллипсы, являющиеся сечениями в моменты времени tk, k=1,…,200, t1=0, tk+1=tk+0.1 эволюционирующего инвариантного эллипса. Начальный эллипс (k=1) обозначен штрих пунктирной линией, а конечный эллипс (k=200) обозначен сплошной линией. Ему соответствует матрица
.
Рисунок 3.3. Сечения эволюционирующего инвариантного эллипса для рассматриваемой системы с регулятором, коэффициенты усиления которого зависят от времени.
На рисунке 3.4 показаны графики изменения параметра β(t) (сплошной линией), значения которого сначала возрастают, а затем монотонно убывают, и коэффициентов усиления K1(t) и K2(t) регулятора (показаны штриховой и штрих пунктирной линией соответственно). Если после 10с оставить регулятор с постоянными коэффициентами усиления K2=[–17.9843 –6.9976], полученными на последнем шаге, то для рассматриваемой нелинейной системы с таким регулятором, матрица минимального инвариантного эллипса определится
.
Получена также матрица инвариантного эллипса из области притяжения
Рисунок 3.4. Изменение параметра β и коэффициентов усиления регулятора во времени
Для реализации закона управления в виде обратной связи по состоянию при неполной информации о векторе состояния следует использовать наблюдатели для получения оценок полного вектора состояний по результатам измерения вектора выхода. Способы построения наблюдателей состояния для систем с неопределенными возмущениями и примеры их использования для реализации законов управления по состоянию представлены в разделе 2.
4. Пример решения задач ограниченности относительно заданных множеств, качества по H критерию и синтеза управления в виде обратной связи по состоянию для простейшей системы с неопределенными нелинейностями и возмущениями