5. Оценивание состояния и устойчивость систем управления с неопределенными возмущениями и параметрическими изменениями. Робастная стабилизация

5.1. Постановка задачи синтеза робастного управления, обеспечивающего стабилизацию маятника при неопределенных возмущениях и параметрических изменениях (для примера 2-го порядка)

Регуляторы, синтезированные по линеаризованной модели, обеспечивают устойчивость и требуемое качество линейной системы при фиксированных значениях параметров. Такой регулятор способен стабилизировать нелинейную систему только вблизи состояния равновесия при заданных значениях параметров. Для того чтобы система стабилизировалась при других значениях параметров, несколько отличающихся от исходных, требуется синтезировать робастный (грубый – нечувствительный по отношению к изменению параметров и возможно нелинейностям) регулятор.

Рассмотрим снова пример системы из п.1.1:

(5.1)

которую будем рассматривать как систему

(5.2)

где - вектор состояния, - входное возмущение, - вектор управляемого выхода, - известные постоянные матрицы, , T>t₀ заданная константа (при рассмотрении на конечном интервале) или T= (при рассмотрении на бесконечном интервале).

Предположим, что неопределенные возмущения являются непрерывными функциями, ограниченными в каждый момент времени:

. (5.3)

Множество таких функций обозначим как W=E_w(I).

В качестве выхода системы, чтобы избежать больших значений управления, выбран вектор . Также будет учитываться неопределенность в начальном состоянии системы, задаваемая в виде эллипсоида с матрицей , т.е.

(5.4)

При этом для рассматриваемой системы (1.1) определим матрицы в (1.2)

.

Предполагается, что значение параметр в процессе может изменяться и отклоняться от своего номинального значения на величину , для которого имеет место ограничение

,

где - известная положительная константа.

Линеаризованная система относительно положения равновесия x=0 получается из исходной заменой нелинейной функции ее средним значением, которое согласно графику, показанному на рисунке 5.1 составляет 0.392:

(5.5)

где матрица A определяется как .

Рисунок 5.1. График функции 0.392–sin(x)/x

Обозначим , где - матрица, характеризующая отклонения матрицы от матрицы A при изменении параметров , a и координаты x₁ вектора состояния. Представим матрицу в виде

(5.6)

(матрицы со структурированными неопределенностями), где матрица  содержит элементы, которые зависят от неопределенных параметров, а матрицы M, N – содержат элементы, не зависящие от неопределенных параметров. В рассматриваемом случае определим

.

Прямой проверкой убеждаемся, что при всех x₁. Поэтому при получаем, что ограничение

(5.7)

выполняется при =0.621.

Таким образом, требуется синтезировать робастный регулятор для системы (5.2) с неопределенными возмущениями из (5.3) и параметрическими изменениями, представленными в виде (5.6) с матрицей , удовлетворяющей ограничению (5.7), обеспечивающий стабилизацию с максимальной точностью.

5.2. Результаты решения задачи синтеза робастного управления для стабилизации маятника при неопределенных возмущениях и параметрических изменениях

Как показано в [1], задача синтеза робастного управления в виде обратной связи по состоянию для системы (5.2) с неопределенными возмущениями из (5.3) и параметрическими изменениями, представленными в виде (5.6) с матрицей , удовлетворяющей ограничению (5.7), сводится к одной из следующих задач оптимизации с ЛМН:

или

при ограничениях

(5.8)

, (5.9)

где минимизация проводится по матричным переменным , скалярным параметрам q>0, α>0. определяет при фиксированных q и α определяет матрицу предельного инвариантного эллипсоида для вектора состояния x(t), матрицу предельного ограничивающего эллипсоида для вектора выхода z(t) системы (5.4) и матрицу коэффициентов соответствующего регулятора по состоянию .

Для решении задач при ограничении (5.8) и при ограничениях (5.8),(5.9) была разработана программа, текст которой представлен ниже.

step = 0.25;

begin_val = 2.0;%1.9969;%1.7250;%

end_val = 2.5;%1.9969;%0.2;%-min(eig(A-B*K));

min_tr_Z = 1000000;

%figure (3)

% Синтез робастного регулятора по состоянию при учете неопределенных ограниченных возмущений и параметрических изменений

% Оптимизация по параметрам q и alf путем перебора с уменьшающимся шагом

while step>0.001

for q = begin_val:step:end_val

for alf = 0.11:0.01:0.11

cvx_begin sdp

variable Qs(n1, n1) symmetric;

variable Zs(1,1) symmetric;

variable Ys(1, n1) ;

minimize( trace(C*Qs*C'+C*Ys'*B2'+B2*Ys*C'+B2*Zs*B2'))

%minimize( trace(Qs))

subject to

Qs >= eye(2)*1e-3;

[A*Qs + Qs*A'+B1*Ys+Ys'*B1'+q*Qs+(D*D')/q+alf*gam*(M*M') Qs*N';

N*Qs -alf*eye(2)]< 0; %условие асимптотич устойчивости

[Zs Ys;

Ys' Qs]>=0;

% [Qs eye(2); eye(2) 50*eye(2)]>0;

%norm(Ys, 'fro')<=15;

cvx_end

Qsf = double(Qs)

Y=double(Ys);

K=Y/Qsf;

Z=double(Zs);

%trZ=trace(Qsf);

trZ=trace(C*Qsf*C'+C*Y'*B2'+B2*Y*C'+B2*Z*B2');

if min_tr_Z > trZ

min_tr_Z = trZ

Q_min = Qsf

K_min=K

q_min = q

alf_min=alf

end;

end;

end;

step = step*0.5;

begin_val = q_min-2*step;

end_val = q_min+2*step;

end;

Q1=Q_min

K1=K_min

q1=q_min

alf1=alf_min

A1=A+B1*K1;

С помощью разработанной программы была решена задача минимизации trace (Q) при ограничениях (5.8) и дополнительных ограничениях, обеспечивающих ограниченность коэффициентов усиления регулятора:

[Qs eye(2); eye(2) 50*eye(2)]>0;

norm(Ys, 'fro')<=15;

В результате при q₀₁ =0.1, α₀₁=2 получена матрица минимального инвариантного эллипсоида

,

и коэффициенты K₀₁=[–120.0643 –75.4271] робастного регулятора по состоянию. Матрица замкнутой системы имеет собственные значения [–1.6303, –73.7968]. На рисунке 5.2 показан переходный процесс в исходной нелинейной системе с полученным робастным регулятором при учете внешнего возмущения w=sin(cos(3*t)).

Рисунок 5.2. Переходный процесс в системе с робастным регулятором K₀₁ с при начальных отклонениях x₀=[5 2] и действии возмущения w=sin(cos(3*t))

Для интегрирования исходной системы использовалась функция Mayat_Integr_01.

Для оценивания состояния исходной нелинейной системы с учетом неопределенных возмущений и параметрических изменений было получено на интервале [0,10с] частное решение Q(t) матричной системы сравнения

(5.10)

при q =0.1, α=2, K=K₀₁ и начальной матрице . На рисунке 5.3 показаны сечения эволюционирующего инвариантного эллипса, определяемого матрицей Q(t) в дискретные моменты времени. Начальный эллипс показан пунктирной линией, эллипс, соответствующий матрице показан сплошной линией.

Рисунок 5.3. Сечения эволюционирующего инвариантного эллипса, получаемые в результате численного интегрирования МСС (5.10) при учете регулятора K₀₁

Текст программы для численного интегрирования системы сравнения представлен ниже. Для вычисления правых частей МСС (5.9) используется функция Prav_Lin_Mayat_1rob.

% Оценивание состояния маятника с неопределенными возмущениями с помощью

% матричной системы сравнения

t0=0; tk=10;

Q=Q01+eye(2);

vec_Q = [Q(:,1); Q(:,2)];

[t,H] = ode15s(@(t,vec_Q) Prav_Lin_Mayat_1rob(t,vec_Q,A01,D,q01,alf01,gam,M,N),[t0 tk],vec_Q);

MQ = [];

nh=length(H(:,1));

t(nh)

nn=1;

figure(2)

for i = 1:nn:nh

MQ = [H(i,1) H(i,2); H(i,3) H(i,4)];

MQ=(MQ+MQ')/2;

E = ellipsoid(MQ);

%pEs = projection(E, BB);

plot(E, 'b');grid on;hold on;

end;

plot(E, 'r');grid on;hold on;

function dQ=Prav_Lin_Mayat_1rob(t,vec_Q,A,D,q,alf,gam,M,N)

% Вычисление правой части матричной системы сравнения

Q = [ vec_Q(1) vec_Q(2); vec_Q(3) vec_Q(4)];

dQQ= A*Q + Q*A' +q*Q+(D*D')/q+alf*gam*(M*M')+Q*(N'*N)*Q/alf;

dQQ=(dQQ+dQQ')/2;

dQ = reshape(dQQ,4,1);

Также с помощью разработанной программы была решена задача минимизации trace при ограничениях (5.8),(5.9). Получены значения q₁ = 2.5, α₁=0.11, матрица предельного инвариантного эллипса для состояний и коэффициенты K₁=[–11.7002 –6.9773] робастного регулятора по состоянию. Матрица замкнутой системы имеет собственные значения [–3.0192, –3.9581]. На рисунке 5.4 показаны минимальные предельные инвариантные эллипсы для вектора состояний системы с робастными регуляторами K₀₁ (штриховая линия) и K₁ (пунктирная линия). На рисунке 5.5 показан переходный процесс в исходной нелинейной системе с полученным робастным регулятором K₁ по углу (сплошная линия) и по угловой скорости (пунктирная линия) при учете внешнего возмущения w=sin(cos(3*t)).

Рисунок 5.4. Минимальные предельные инвариантные эллипсы для вектора состояний системы с робастными регуляторами K₀₁ (штриховая линия) и K₁ (сплошная линия)

Рисунок 5.5. Переходный процесс в системе с робастным регулятором K₁ с при начальных отклонениях x₀=[5 2] и действии возмущения w=sin(cos(3*t))

Для оценивания состояния исходной нелинейной системы с учетом неопределенных возмущений и параметрических изменений было получено на интервале [0,10с] частное решение Q(t) матричной системы сравнения (5.10) при q =0.11, α=2.5, K=K₁ и начальной матрице . На рисунке 5.6 показаны сечения эволюционирующего инвариантного эллипсоида, определяемого матрицей Q(t) в дискретные моменты времени. Начальный эллипсоид показан пунктирной линией, эллипсоид, соответствующий матрице показан сплошной линией. Отметим, что эта матрица совпадает с матрицей предельного инвариантного эллипса.

Рисунок 5.3. Сечения эволюционирующего инвариантного эллипса, получаемые в результате численного интегрирования МСС (5.10) при учете регулятора K₁

С помощью программы из п. 2.1 при q₁ =1.8250, q₂=2 произведен синтез наблюдателя состояния с постоянными коэффициентами L₁ =[9.9437 30.4212]. При этом получена следующая матрица предельного инвариантного эллипса, ограничивающего ошибку оценивания

, а также матрица . Матрица наблюдателя при этом имеет собственные значения –4.9718±2.4397i.

С помощью вызова функции Observ_Mayat_Integr_01, текст которой представлен в п.2.1, получены переходные процессы в исходной нелинейной системе с робастными регуляторами с коэффициентами K₀₁, K₁ и наблюдателем состояния с постоянными коэффициентами L₁ при действии внешнего возмущения w=-sin(2*cos(3*t)) и погрешности измерений угла, задаваемой датчиком случайных чисел (показаны на рисунках 5.4 и 5.5 соответственно).

Также с помощью вызова функции Prav_CS_Nabl_Mayat_1, текст которой представлен в п.2.2, получены переходные процессы в исходной нелинейной системе с робастными регуляторами с коэффициентами K₀₁, K₁ и наблюдателем состояния с зависимыми от времени и определяемыми по выражению (2.10) коэффициентами при действии внешнего возмущения w=-sin(2*cos(3*t)) и погрешности измерений угла, задаваемой датчиком случайных чисел (показаны на рисунках 5.6 и 5.7 соответственно).

Рисунок 5.4. Переходные процессы в исходной системе (сплошная и штриховая линии) с робастным регулятором K₀₁ по выходу наблюдателя и наблюдателе (пунктирная и штрих-пунктирная линии) с постоянными коэффициентами L₁ при действии возмущений и погрешностей измерений

Рисунок 5.5. Переходные процессы в исходной системе (сплошная и штриховая линии) с робастным регулятором K₁ по выходу наблюдателя и наблюдателе (пунктирная и штрих-пунктирная линии) с постоянными коэффициентами L₁ при действии возмущений и погрешностей измерений

Рисунок 5.6. Переходные процессы в исходной системе (сплошная и штриховая линии) с робастным регулятором K₀₁ по выходу наблюдателя и наблюдателе (пунктирная и штрих-пунктирная линии) с определяемыми по выражению (2.10) коэффициентами при учете возмущений и погрешности измерений угла

Рисунок 5.7. Переходные процессы в исходной системе (сплошная и штриховая линии) с робастным регулятором K₁ по выходу наблюдателя и наблюдателе (пунктирная и штрих-пунктирная линии) с определяемыми по выражению (2.10) коэффициентами при учете возмущений и погрешности измерений угла