4.3. Задача подавления начальных отклонений и внешних неопределенных возмущений с оценкой качества по h критерию

Пусть в начальный момент времени состояние системы является неопределенным, известно, что оно принадлежит эллипсоиду

, (4.10)

где – заданная положительно определенная симметрическая матрица.

Предполагается, что пара (A(t),D(t)) –управляема, а матрица C(t) является матрицей полного ранга строк.

Определение 4.2. Система (1) с нелинейностью, удовлетворяющей (2), и внешними возмущениями w(t)L₂ обладает на заданном интервале H_ свойством со степенью , называемой H_ границей, если

, (4.11)

где  - заданное положительное число, S₀, S_T – заданные положительно определенные симметрические матрицы.

Задача заключается в том, чтобы определить H_ границу, т.е. определить степень подавления начальных отклонений из (4.10) и внешних возмущений из (4.3) при любой нелинейности из (3.2).

Теорема 4.2. Система (4.1) при L₂ возмущении обладает H_¥ свойством (4.11), если для заданных g>0, S₀, S_T>0 существует непрерывно дифференцируемая матричная функция Q(t)>0 с граничными условиями , , удовлетворяющая при некотором и всех дифференциальному линейному матричному неравенству

. (4.12)

Следующая лемма распространяет достаточное условие для того чтобы линейная неавтономная система с вектором управляемого выхода, определяемым в виде , обладала H_∞ свойством, на системы вида (4.1) с нелинейностями из (4.2) при внешних возмущениях из (4.3).

Лемма 4.2. Система (1) с обладает H_¥ свойством (4.11) при L₂ возмущении, если для заданных g>0, S₀, S_T>0 существует непрерывно дифференцируемая симметрическая матричная функция P(t) такая, что

, (4.13)

, (4.14)

. (4.15)

Доказательство. Пусть . Если условия (4.13) - (4.15) выполняются, мы имеем

так что

.

Это завершает доказательство.

Объединением условий лемм 4.1 и 4.2 получаются достаточные условия для того, чтобы система (1) с одновременно обладала ограниченностью относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] и H_¥ свойством.

Теорема 4.3 Система (1) с являлась ограниченной относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] и обладает H_¥ свойством (4.11) при L₂ возмущении, если для заданных g>0, R₀>0,S₀>0, R(t)>0, S_T>0 существует положительно определенная симметрическая матрица P(t) такая, что

,

,

,

где .

Следует отметить, что лемма 2 и теорема 3 распространяет соответствующий результат, полученный в [6] для линейной неавтономной системы с внешними ограниченными по норме возмущениями, на случай неавтономной системы с нелинейностями из (4.2) при L₂ возмущениях.

4.4. Задача синтеза управления в виде обратной связи по состоянию для систем с нелинейностями и неопределенными возмущениями

Рассматривается система с управлением

(4.16)

где - вектор состояния, - внешнее возмущение, удовлетворяющее ограничению (2), - управление, - вектор управляемого выхода, - заданные матрицы с непрерывными и ограниченными элементами при всех , где T>0 заданная константа (при управлении на конечном интервале) или T= (при управлении на бесконечном интервале). Предполагается, что пара (A(t),B₁(t)) –управляемая (стабилизируемая), пара (A,C) наблюдаема (детектируемая), а матрица D₁(t) является матрицей полного ранга строк, поэтому имеет место соотношение при всех t>t₀ .

Нелинейная векторная функция удовлетворяет ограничению:

, (4.17)

где - известные матрицы с непрерывными и ограниченными элементами при всех .

Задача состоит в нахождении управления в виде обратной связи по состоянию

, (4.18)

обеспечивающего для системы (4.16):

1. ограниченность относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W];

2. требуемое H_¥ качество, оцениваемого показателем (4.11).

Задача синтеза регулятора, обеспечивающего ограниченность относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W], сводится к задаче оптимизации при ограничениях в виде дифференциальных линейных матричных неравенств.

Теорема 4.4. Решение задачи

при ограничениях

,

, .

где минимизация проводится по матричным переменным и скалярному параметру β>0, определяет при заданных α>0, >0 и каждом матрицу и зависимую от времени матрицу коэффициентов регулятора по состоянию , обеспечивающего ограниченность относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] при всех нелинейностях из (4.17).

Теорема 4.5. Решение одной из задач

, или , или (4.19)

при ограничениях

, (4.20)

, (4.21)

с граничными условиями , , где минимизация проводится по матричным переменным , и скалярным параметрам β>0, >0, определяет при каждом матрицу и зависимую от времени матрицу коэффициентов регулятора по состоянию , обеспечивающего Н_ свойство системы (4.16) при всех нелинейностях из (4.17).

Теорема 6. Если существуют матрица Y(t) и симметрическая матрица Q(t) такие, что

(4.22)

,

,

,

где . Тогда, обратная связь по состоянию гарантирует, что переменная по времени система (4.16) с и нелинейностями из (4.17) является ограниченной относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] и обладает H_¥ свойством (4.11) при L₂ возмущении.

Замечание 1. Согласно дополнению Шура неравенство (4.22) эквивалентно ДЛМН

.