3.1. Усилительное звено (пропорциональное звено)

К этим звеньям относятся все устройства, для которых в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной (рис. 3.1).

а) б)

Рис. 3.1. Типовые примеры пропорциональных звеньев

Эти звенья называют также статическими. Уравнение звена имеет вид:

х_вых = k · х_вх, (3.7)

где k – коэффициент усиления звена. Его величина имеет только действительное значение как положительное, так и отрицательное.

Реакция звена на входной сигнал в виде функции 1(t) называется переходной функцией. Переходная функция пропорционального звена представлена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Переходная функция пропорционального звена

3.2. Апериодическое звено

Апериодическим называется звено, в котором при единичном воздействии на входе выходная величина апериодически (по закону экспоненты) стремится к новому установившемуся значению. Примерами апериодических звеньев являются RC – цепочка и мембранный исполнительный механизм (рис. 3.3).

а) б)

Рис. 3.3. Типовые примеры апериодических звеньев

Уравнение звена для RC – цепочки имеет вид:

T · dU_вых / dt + U_вых = k · U_вх , (3.8)

где Т = RC – постоянная величина;

k = U_вых/U_вх – коэффициент усиления апериодического звена, определяемый в установившемся режиме.

Параметр Т характеризует скорость протекания апериодического экспоненциального переходного процесса или степень инерционности данной цепи.

Переходная функция этого ТЗ определяется как решение неоднородного дифференциального уравнения и имеет вид:

h(t) = U_вых(t) = k · (x_вх)₀ · [1 – е ^{- t/T}] (см. рис. 3.4). (3.9)

Рис. 3.4. Переходная функция апериодического звена

Обычно переходной процесс считается законченным, если U_вых достигает ~ 95 % своего установившегося значения, то есть U_вых = 0,95 · k · (U_вх)₀ . Это соответствует времени t_пп = 3Т .

3.3. Колебательное звено

Это звено, в котором при единичном воздействии на входе, выходная величина стремится к новому установившемуся значению, совершая относительно него затухающие колебания. Примерами колебательных звеньев являются RLC – цепочка и гидромеханическое демпфирующее устройство (рис. 3.5).

а) б)

Рис. 3.5. Типовые примеры колебательных звеньев

Уравнение звена для RLC – цепочки имеет вид:

T² · d²U_вых / dt² + 2Tζ · dU_вых / dt + U_вых = k · U_вх , (3.10)

где Т = √LC – постоянная времени, характеризующая собственную частоту колебаний системы;

ζ = R / 2 · √L/C – коэффициент демпфирования (затухания);

k – коэффициент усиления (передачи) звена.

Вид переходной функции определяется корнями характеристического уравнения T²r² + 2ζTr + 1 = 0 :

r_1,2 = – ζ ± √ζ² – 1 / Т : (3.11)

а) при 0 < ζ < 1 – корни комплексные сопряженные:

r_1,2 = – α ± jω_e ,

где α = ζ/Т – коэффициент затухания колебаний в ТЗ;

ω_e = √1 – ζ² /Т – собственная частота колебаний в ТЗ;

j = √–1.

Для этих условий переходная функция имеет вид:

U_вых(t) = k · (U_вх)₀ · [1–В·е^–αt sin(ω_et + φ)] , (3.12)

где В = √1 + α² / ω_e² и φ = arctg ω_e / α .

Вид переходной функции представлен на рис. 3.6, а;

в) при ζ ≥ 1 переходящая функция не имеет колебаний и похожа на переходную функцию апериодического ТЗ (рис. 3.6, б). Поэтому при ζ ≥ 1 колебательное звено называют апериодическим звеном второго порядка;

с) при ζ = 0 (отсутствие демпфирования) колебательное ТЗ называется консервативным, так переходной процесс сопровождается незатухающими колебаниями (рис. 3.6, в).

а) б) в)

Рис. 3.6. Виды переходных функций колебательного звена