128

Лабораторная работа ф3-13 изучениу явления резонанса в параллельной rlc цепи

Цель работы:

1. Изучение явления резонанса.

2. Снятие амплитудных и фазовых характеристик:

а) зависимость амплитуды силы тока от частоты;

б) зависимость сдвига фаз между полным напряжением и током от частоты;

3. Изучение зависимости добротности контура от сопротивления.

4. Определение амплитуды напряжения на конденсаторе в зависимости от частоты.

Оборудование:

Осциллограф, генератор сигналов низкой частоты, омметр, универсальный лабораторный стенд, соединительные провода.

Краткая теория

Цепь, содержащая элементы L, C, R может быть соединена параллельно. При этом сопротивление можно включить либо в ветвь, содержащую катушку индуктивности, либо в ветвь с конденсатором. Такая цепь называется параллельным колебательным контуром.

Рассмотрим цепь, представленную на рис.1.

Рис.1.

Общее сопротивление такой цепи складывается из сопротивлений двух параллельных ветвей:

(1)

В комплексном виде сопротивление этой цепи можно записать в следующем виде:

(2)

На входе цепи действует синусоидальная э.д.с.

Определим гармонические токи и напряжения в цепи методом векторных диаграмм (см. Приложение).

В параллельной LCR-цепи напряжение на емкости равно сумме напряжений на индуктивности и резисторе, поэтому в качестве оси, от которой откладываются углы при построении векторной диаграммы, выберем ось общего напряжения.

Рис.2

Построим предварительную векторную диаграмму для LR-ветви, учитывая, что ток через индуктивность и резистор одинаков. Векторная диаграмм для LR-ветви приведена на рисунке 3.

Рис. 3

Как видно из диаграммы, вектор напряжения на индуктивности опережает вектор напряжения U₀ на угол

(3)

а ток отстает от напряжения на угол

(4)

На рисунке 4 приведена векторная диаграмма для C-ветви переменного тока.

Рис. 4

Так как ток через емкость опережает напряжение на угол /2, то вектор I_0C, соответствующий амплитуде тока, повернут вверх относительно оси U₀ на угол /2.

Как следует из диаграммы (рис.3), ток через LR-ветвь отстает от общего напряжения на угол ₂, поэтому вектор, соответствующий амплитуде тока LR-цепь, отклонен от оси общего напряжения на угол ₂ вниз. Проектируя I₀ на оси и складывая вектора, получаем формулу для вычисления амплитуды полного тока I₀:

, (5)

где I_0C, I_0R - амплитуды тока через емкость и резистор соответственно. Значения I_0R, cos₂ и sin₂ можно получить из диаграммы (рис.9).

(6)

(7)

(8)

Подставляя полученные значения в формулу (8), получаем для амплитуды напряжения U₀ следующее выражение:

(9)

При малых R, т.е. когда R«L, получаем:

(10)

Cдвиг фаз между током и напряжением на цепи определяется из диаграммы 4:

(11)

(12)

При малых R, т.е. когда R«L, получаем:

(13)

Напряжение на конденсаторе U_C и напряжение на LR-цепочке U_LR равны, а их амплитуда определяется формулой(10).

- модуль комплексного сопротивления.

Сдвиг фаз между полным током I и напряжением U дается выражением:

(14)

Амплитуда тока I_0L, протекающего через RL- цепочку и амплитуда тока I_0C, протекающего через конденсатор, даются формулами:

(15)

(16)

Если значение амплитуды полного тока I₀ (см. формулу 1) поддерживать постоянной и считать, что индуктивное сопротивление L»R, то при некотором значении частоты _о, равной

(17)

где _о - резонансная частота, амплитуда напряжения U₀ будет иметь максимум.

При резонансной частоте сдвиг фаз между полным током I₀ и U напряжением равен нулю, а модуль комплексного сопротивления 1Z1 достигает максимума. Однако силы тока I_LR и I_C при этом не являются минимальными. При анализе векторных диаграмм (см. Приложение 1) на резонансной частоте _о видно, что внутри контура (см. рис. 1) циркулирует очень большие токи по сравнению с током (см. формулы 3,4), который подводится к этому контуру. Это происходит потому, что токи I_LR и I_C направлены противоположные стороны и компенсируют друг друга. Поэтому сам резонанс называется резонансом токов.

Для характеристики резонансных явлений удобно использовать понятие добротности:

(18)

Для контуров, добротности которых Q » 1, ее величину практически определяют как отношение резонансной частоты _рез к величине прилегающего к резонансной частоте _рез частотного интервала 2 в пределах которого напряжение U на контуре отличается от резонансного значения не более чем в раз (см. рис.2).

Рис. 2

Величину 2 называют шириной резонансной кривой контура. Можно показать, что добротность равна отношению силы тока I_0C или I_0LR к амплитуде полного тока I₀ при резонансе:

(18)

где I_0C -амплитуда тока через конденсатор С,

I_0LR - амплитуда тока через RL-цепочку,

На основании (7) можно сказать, что добротность Q показывает во сколько раз ток I_0C или I_0LR превышает полный ток I₀ при резонансе.

В ходе выполнения работы необходимо снять зависимость амплитуды силы тока I_0LR в контуре от частоты , подаваемого на контур напряжения. Очевидно, что сила тока в контуре будет прямо пропорциональна падению напряжения на активном сопротивлении R. Поэтому зависимость амплитуды напряжения на сопротивлении от частоты совпадает с зависимостью амплитуды силы тока в ветви LR от частоты.