Условная вероятность. Независимость событий

 

 Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называется  условной вероятностью события  А  и вычисляется по формуле:

                                       

События  А , В   Е называются независимыми, если  Р ( А   В ) = Р ( А ) · Р ( В ) .

В противном случае события  А и В называются зависимыми.

Случайные величины и функции распределения случайных величин.

Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями.

Случайная величина  Х  называется  дискретной, если существует такая неотрицательная функция

 

 

которая ставит в соответствие значению  х_i  переменной  Х  вероятность  р_i  , с которой она принимает это значение. Дискретные случайные величины  X  и  Y  называются независимыми, если события  Х = х_i   и  Y = y_j  при произвольных  i  и  j  являются независимыми.

Случайная величина  Х  называется  непрерывной, если для любых   a <  b  существует такая неотрицательная функция  f ( x ), что

Функция   f ( x ) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины.

Вероятность того, что случайная величина  Х  принимает значение меньшее  х , называется функцией распределения случайной величины Х  и обозначается  F ( x ) :

 

F ( x ) = Р (  X     x ) .

 

Общие свойства функции распределения:

 

 

 

 

Характеристики случайных величин

 

Математическое ожидание.Свойства математического ожидания.

Дисперсия. Свойства дисперсии.Среднее квадратичное отклонение.

 

Математическим ожиданием дискретной случайной величины  Х  , принимающей конечное число значений  х_i  с вероятностями  р_i , называется сумма:

 

М ( Х ) = х₁ · р₁ + х₂ · р₂ + х₃ · р₃ + ... + х_n· р_n .

 

Свойства математического ожидания:

 

   1)   М ( с · Х ) = с · М ( Х ) ,   c   R ,

 

   2)   М ( Х + Y ) = М ( Х ) + М ( Y ) ,     Х , Y   Е ,

 

    3)   М ( Х · Y ) = М ( Х ) · М ( Y )  для независимых случайных величин  Х  и  Y . 

 

Дисперсией случайной величины  Х  называется число:

 

D ( Х ) = М{ [ Х – М ( Х )] ² }= М ( Х ² ) – [М ( Х )] ² .

 

Свойства дисперсии:

 

   1)   D ( с · Х ) = с ² · D ( Х ) ,   c   R ,   

 

   2)   D ( Х + Y ) = D ( Х ) + D ( Y ) для независимых случайных величин  Х  и  Y .

 

Среднее квадратичное отклонение:

 

              

Нормальное ( гауссово ) распределение

 

Случайная величина  Х  имеет нормальное ( гауссово ) распределение, если её плотность распределения определяется зависимостью:

                                   

При  m = 0 ,   = 1  нормальное распределение называется стандартным.

График плотности нормального распределения представлен на рис.1.

Математическая модель демографического процесса.

Одной из наиболее доступных для непосредственного измерения социальных величин является численность людей. Поэтому именно область демографии привлекает исследователей, давая надежды на успех в построении количественной теории. Примечательно, что и проникновение математических методов в биологию во многом проходило под флагом описания популяционной динамики животных.

Однако несмотря на измеримость данных и, более того, на очевидность формулы, вытекающей из закона сохранения и описывающей демографическую динамику:

,                                                                                        (1)

где N – число людей, B – число рождений и D – число смертей в единицу времени, на микроуровне оказывается, что и число рождений, и число смертей зависят от многих других социальных параметров, и в том числе от «человеческого фактора» – принятия решений отдельными людьми, слабо поддающегося формализации.

Кроме того, формула (1) не учитывает перемещения людей в пространстве, а следовательно она должна быть расширена:

,

где вектор J соответствует миграционному потоку. В этом случае задача еще больше усложняется, поскольку миграционные процессы еще сильнее подвержены влиянию внешних факторов.

Поэтому описание демографических процессов на микроуровне наталкивается на существенные проблемы, связанные, прежде всего, с неразработанностью формальных социальных законов, увязывающих экономические, политические, этические и прочие факторы, определяющие поведение малых групп людей.

Таким образом, единственным пока доступным подходом является макроописание, не вдающееся в мелкие детали демографического процесса и описывающее динамику больших людских масс, для которых влияние человеческого фактора заметно ниже.

Теорема (правило Лопиталя).

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть    или   . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций   , то существует и предел отношения самих функций  f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Пример:

.