3. Правила дифференцирования

1) Производная константы равна нулю, т.е  , где C  – константа.

2) Производная суммы (разности) дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е  .                                            .

3) Производная произведения дифференцируемых функций находится по правилу:  .

4) Константу можно выносить за знак производной :  , где   - константа.

5) Производная дроби находится по правилу: .

 Правило дифференцирования сложной функции.

6) Если функция  имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция  имеет производную в точке  , причем   .

 

Первообразная. Неопределённый интеграл

 

 

Первообразная. Непрерывная функция  F ( x ) называется  первообразной для функции  f ( x ) на промежутке  X ,  если для каждого    

 

F’ ( x ) = f ( x ).

                 

П р и м е р . Функция  F ( x ) = x ³ является первообразной для функции

                        f ( x ) = 3x ²  на интервале  ( -  , +   ) , так как

 

                                               F’ ( x ) = ( x ³ )’  = 3x ² =  f ( x ) для всех  x   ( -  , +   ) . Легко проверить, что функция x ³ + 13 имеет ту же производную 3x ², поэтому x ³ + 13 также является первообразной для функции 3x ²  для всех   x   ( -  , +   ) . Ясно, что вместо 13 можно взять любую постоянную.

 

Таким образом, задача нахождения первообразной имеет бесчисленное множество решений. Этот факт нашёл отражение в определении неопределённого интеграла.

 

Неопределённый интеграл функции  f ( x ) на промежутке  X есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде:

где  C  – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Основные свойства неопределённого интеграла

Если функция  f ( x ) имеет первообразную на промежутке  X, и  k – число, то

Т.е.  постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции  f ( x )  и  g ( x ) имеют первообразные на промежутке  X , то

Т.е.  интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция  f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

 

Т.е.  производная от интеграла равна подынтегральной функции.

 

Если  функция  f ( x )  непрерывна на промежутке  X  и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Т.е.  интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

 

 

Рассмотрим непрерывную функцию  y = f ( x ), заданную на отрезке [ a, b ] и сохраняющую на этом отрезке свой знак ( рис.8 ).  Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [ a, b ] и прямыми  x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.  Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема:

 

Если f – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [a, b], и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a, b], т.e.

Рассмотрим функцию S ( x ), заданную на отрезке [ a, b ]. Если a<x   b, то S ( x ) – площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку ( x, 0 ). Отметим, что если   x = a ,  то  S ( a ) = 0, а  S ( b ) = S  ( S – площадь всей криволинейной трапеции). Можно доказать, что

                       

т.e. S ( x ) – первообразная для  f ( x ). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех  x   [ a, b ]  имеем:

 

S ( x ) = F ( x ) + C ,

 

где C – некоторая постоянная,  F – одна из первообразных функции  f .

Чтобы найти C , подставим  x = a :

 

F ( a ) + C = S ( a ) = 0,отсюда, C = -F ( a ) и  S ( x ) = F ( x ) - F ( a ). Так как площадь криволинейной трапеции равна  S ( b ) , то подставляя  x = b , получим:

S = S ( b ) = F ( b ) - F ( a ).