1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной

Пусть функция     определена в точке     и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу приращение   такое, что точка   попадает в область определения функции.  Функция при этом получит приращение   . 

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции     в точке   называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента  ,  при   (если этот предел существует и конечен), т.е.

.

Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке  и непрерывностью функции в этой точке.

Теорема1. (необходимое условие существования производной функции в точке).  Если функция  y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x)  в этой точке непрерывна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть существует   .  Тогда

,

Где  – бесконечно малая при   .

   ;

  

.

Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке    (по геометрическому определению непрерывности). ∎

 Замечание. Непрерывность функции в точке     не является достаточным условием существования производной этой функции в точке   .  Например, функция y = |x|   непрерывна, но не имеет производной в точке .

Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве . Ее называют производной функции  y = f(x) и обозначают

.

Операцию нахождения производной функции f(x) называют дифференцированием функции y = f(x).

 

2. Физический и геометрический смысл производной

1) Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная   – это скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке .  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная  – скорость в момент времени .  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то   – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

2) Геометрический смысл производной.

Пусть   – некоторая кривая,  – точка на кривой  .

Любая прямая, пересекающая   не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой  в точке   называется предельное положение секущей   ,  если точка   стремится к  ,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке  существует, то она единственная.

Рассмотрим кривую y = f(x)  (т.е. график функции  y = f(x)).  Пусть в точке   он имеет невертикальную касательную  .  Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент  k).

По определению углового коэффициента  , где  – угол наклона прямой   к оси  .

Пусть  – угол наклона секущей к оси ,  где   . Так как   – касательная, то при 

 ⇒   ⇒     .

Следовательно,

Таким образом, получили, что –  это угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке).  Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде