Элементы теории множеств

1. 1. Понятие множества

В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т.д. Понятие множества относится к числу первоначальных понятий, которые не определяются через другие, более простые. Вместо слова ''множество'' иногда говорят ''совокупность'', ''собрание'' предметов и т.д. Предметы, составляющие данное множество, называются элементами данного множества.

Теория множеств посвящена в основном изучению именно бесконечных множеств. Теория конечных множеств называется иногда комбинаторикой.

Но простейшие свойства множеств, те, о которых мы только и будем здесь говорить, в большинстве случаев в равной мере относятся как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Заметим, что в математике допускается к рассмотрению множество, не содержащее элементов – пустое множество. Запись а  Х означает, что а есть элемент множества Х.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А.

Каждый отдельный элемент множества А образует подмножество, состоящего из этого одного элемента. Кроме того, пустое множество является подмножеством всякого множества.

Подмножество множества А называется несобственным, если оно совпадает с множеством А.

Если множество В есть подмножество множества А, то говорим, что В содержится в А и обозначаем В  А. Подмножество В множества А называется собственным подмножеством, если В не пусто и не совпадает с А (т.е. имеется элемент множества А, не содержащийся в В).

1. 2. Операции над множествами

Пусть А и В – произвольные множества.

Определение. Объединением двух множеств А и В называется множество С = АВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. (см. рис. 1).

Аналогично определяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А_i – произвольные множества, то их объединение есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А_i.

Рис.1 Рис.2

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С = АВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2). Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств А_i называется множество элементов, принадлежащих каждому из множеств А_i.

Операции объединения и пересечения множеств по определению коммутативны и ассоциативны, т.е.

АВ = В  А, (А В) С = А  (В  С),

А  В = В  А, (А  В)  С = А  (В  С).

Кроме того, они взаимно дистрибутивны:

(А  В)  С = (А  С)  (В  С), (1)

(А  В)  С = (А  С)  (В  С). (2)

Определение. Разностью множеств А и В называется множество тех элементов из А, которые не содержатся в В (рис. 3).

1.3. Понятие функции. Отображение множеств

Пусть X и Y – два произвольных множества.

Определение. Говорят, что на X определена функция f, принимающая значение из Y, если каждому элементу x  X поставлен в соответствие один и только один элемент y  Y. При этом множество X называется областью определения данной функции, а множество Y – её областью значений.

Для множеств произвольной природы вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.

Если а элемент из X, то соответствующий ему элемент b = f(а) из Y называется образом а при отображении f. Совокупность всех тех элементов а из X, образом которых является данный элемент b  Y, называется прообразом (или точнее полным прообразом) элемента b и обозначается f ^–1(b).

Пусть А – некоторое множество из X; совокупность {f (а): а  А} всех элементов вида f (а), где а  А, называется образом А и обозначается f (А). В свою очередь для каждого множества В из Y определяется его полный прообраз f ^–1(В), а именно: f ^–1(В) есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат В.

Определение. Будем говорить, что f есть отображение множества X на множество Y, если f (X) = Y; такое отображение называют сюръекцией. В общем случае, т.е. когда f (X)  Y, говорят, что f есть отображение в Y. Если для любых двух различных элементов х₁ и х₂ из X их образы y₁ = f (x₁) и y₂ = f (x₂) также различны, то f называется инъекцией. Отображение f: XY, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется взаимно однозначным соответствием междуX и Y.