7.3. Расчет цепи Маркова для стационарного режима

Для нахождения финальных вероятностей необходимо составить систему алгебраических уравнений, исходя из правила – для стационарного режима суммарный поток, переводящий систему из других состояний в состояние s_j, равен суммарному потоку вероятностей событий, выводящих систему из состояния s_j

(7.7)

К этим уравнениям надо добавить нормировочное условие , отбросив одно любое из уравнений (7.7). Полученная система уравнений с n неизвестными имеет единственное решение.

Пример 7.1. Вычислительная машина находится в одном из следующих состояний: s₁ – исправно работает; s₂ – несправна, тестируется; s₃– неисправна, настраивается программное обеспечение; s₄ – находится на профилактике; s₅ – ремонтируется, модернизируется. Размеченный граф состояний показан на Рисунке 7.4. Составить систему уравнений и найти предельные вероятности состояний.

Решение. Рассмотрим состояние s₅. В это состояние направленно две стрелки. Поэтому согласно (7.7) в левой части уравнения для j=5 будут два слагаемых. Следовательно, в правой части будет одно слагаемое. Таким образом,

Аналогично запишем уравнения для вершин 2, 3, 4:

Рисунок 7.4. – Размеченный граф состояний к примеру 7.1

В качестве пятого уравнения возьмем условие нормировки

Уравнение для узла s₁ отбрасываем. Его можно затем использовать для контроля полученного решения.

Перепишем систему уравнений в виде

;

В результате решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом подстановок получим

p₁=0,597; p₂=0,1; p₃=0,071; p₄=0,066; p₅=0,166.

Пример 7.2. В локальной вычислительной сети работают три ЭВМ. Через определенные промежутки времени t все ЭВМ тестируются, в результате чего каждая признается либо исправной, либо требующей ремонта. Вероятность того, что за время t исправная ЭВМ выйдет из строя, равна r, а что неисправная будет отремонтирована, равна q. Процессы выхода ЭВМ из строя и их восстановление протекают независимо друг от друга. Полагая, что r=0,2; q=0,3, найти финальные вероятности.

Решение. Построим граф состояний (Рисунок 7.5), нумеруя их по числу исправных ЭВМ: s₀ – нет ни одной неисправной, s₁ – одна неисправна, s₂– две неисправны, s₃ – все три неисправны.

Рисунок 7.5. – Граф состояний

Для того чтобы система перешла из состояния s₀ в s₁, нужно, чтобы одна из трех ЭВМ за время t вышла из строя.

Эта вероятность определяется согласно закону распределения Бернулли

Аналогично находим:

Для проверки убедимся, что

Для того чтобы система из состояний s₁ перешла в состояние s₀, нужно, чтобы неисправная ЭВМ за время t была отремонтирована (А), а две исправные не вышли из строя (В). Тогда