6. Дискретные случайные процессы

6.1. Случайные процессы

Случайной называют функцию X(t), значения которой при каждом значение аргумента являются случайной величиной. Если аргументом случайной функции является время, то такую функцию называют случайным процессом. Если случайная функция (СФ) известна только в определенные моменты времени t_i, то такую функцию можно назвать дискретным случайным процессом. Конкретный вид, которой принимает функция в результате опыта, называется реализацией случайной функции. В результате нескольких опытов получают семейство реализаций x_i (Рисунок 6.1).

Рисунок 6.1. – Сечения случайных функций

Совокупность значений СФ при некотором значении аргумента называют сечением СФ.

Помни: В каждом сечении дискретный случайный процесс определяется системой n СВ (x₁,…,x_n).

Многие явления в динамике своего развития могут описываться лишь конечным (дискретным) числом состояний, изменение (измерение) которых происходит через определенные интервалы времени t: v₁,v₂,v₃,…,v_n-1, v_n.

Пример 6.1. В процессе обучения студент ежегодно переходит (или не переходит) на следующий курс. Накопление значений оценки успеваемости идет непрерывно, одно изменение состояния (переход на случайный курс) происходит в дискретные моменты времени – после окончания очередной сессии.

Этот процесс можно охарактеризовать как случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем.

Во многих случаях переход из одного состояния в другое происходит в неопределенные моменты времени. Например, в мультипрограммном режиме работы ЭВМ задания в различные периоды времени могут находиться в одном из состояний: готово к исполнению, исполняемое, прерванное, ожидающее. Этот процесс называется процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем. Для исследования таких процессов используют понятие потока событий. Потоком событий называют события, появляющиеся одно за другим в случайные моменты времени.

6.2. Потоки событий

В частном случае поток событий можно представить как последовательность точек v₁,v₂,..,v_n на оси времени t с разделяющими их интервалами T₁ ,T₂,…,T_n (Рисунок 6.2): T₁=v₂-v₁, T₂=v₃-v₂, …,T_n-1=v_n-v_n-1.

Рисунок 6.2. – График потока событий

Потоки событий обладают следующими свойствами: ординарностью, без последствия, стационарностью.

Ординарным называют поток, если события в нем возникают поодиночке, а «не пачками». Это означает, что вероятность попадания на участок ∆t двух и более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события:

Потоком без последствия называют поток, в котором для любых непересекающихся участков времени (Рисунок 6.3) число событий, попадающих на эти участки, X₁=x(t₁, ), X₂=x(t₂, ),…, X_n=x(t_n, ) представляет собой независимую СВ.

Рисунок 6.3. – Поток без последствия

Стационарным называют поток, если его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длиной зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени t этот участок расположен.

Поток событий, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами, называют простейшим пуассоновским потоком. Для простейшего потока событий вероятность того, что на участке длиной наступит ровно k событий, определяется по формуле (предельная теорема)

(6.1)

где λ=const – интенсивность потока, равная математическому ожиданию числа событий, наступающих в единицу времени.

Согласно предельной теореме сумма ординарных стационарных потоков событий сходится к простейшему пуассоновскому потоку.

При сложении n независимых стационарных потоков будет получен простейший поток, интенсивность которого равна сумме интенсивностей складываемых потоков

(6.2)

Предельная теорема для суммарного потока дает теоретическое обоснование для использования в ряде практических задач, в предположении, что фигурирующие в них потоки является пуассоновским.

Пример 6.2. В многопользовательской информационной системе одновременно работают 5 человек с производительностью каждого λ₁=4; λ₂=4; λ₃=6; λ₄=5; λ₅=4 (запросов в час). Вероятность ввода некорректного запроса, на который будет получен отказ системы, – q₁=0,1; q₂=0,2; q₃=0,3; q₄=0,2; q₅=0,25. Найти вероятность того, что количество ответов системы составит не менее 14 в час.

Решение. Интенсивность корректных запросов определяется формулой (6.2)

где p_i=1–q_i, =1 (час),

Тогда

Вероятность искомого события

Здесь