1.7. Прямой метод моделирования случайных чисел с

нормальным законом распределения

Прямой метод позволяет преобразовать пару независимых, равномерно распределенных на интервале (0,1) чисел в пару независимых нормально распределенных чисел В этом методе используются специальные формулы преобразования:

;

. (1.6)

Если - независимые числа с равномерным распределением в интервале , то получаем независимые нормально распределенные числа с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией .

Этот метод чувствителен к корреляции чисел . Для исключения возможной корреляции целесообразно числа моделировать двумя различными программами.

Случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией можно определить по формуле

. (1.7)

Здесь - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .

Пример моделирования случайных чисел с нормальным законом распределения приведен в Задании 1.4.

1.8. Формирование случайных чисел с законом распределения Пуассона с

использованием предельных теорем теории вероятностей

В качестве примера использования предельных тео­рем рассмотрим получение случайных чисел, имеющих закон распределения Пуассона

с математическим ожиданием .

Для этого воспользуемся предельной теоремой Пуассона: если — вероятность наступления события А при одном ис­пытании, то вероятность наступления событий в независи­мых испытаниях при , , асимптотически равна (7).

Выберем достаточно большое , такое, чтобы

оказалось меньшим единицы. Будем проводить серии по не­зависимых испытаний, в каждом из которых событие А проис­ходит с вероятностью , и подсчитывать число - случаев фак­тического наступления события А в серии с номером i. Числа , будут приближенно следовать закону Пуассона, причем тем точнее, чем больше . Практически должно выбираться та­ким образом, чтобы было не более 0,1… 0,2.

Машинная процедура получения последовательности слу­чайных чисел состоит в следующем.

Из совокупности случайных чисел с равномерным распреде­лением в интервале (0, 1) выбирается число и сравнивается с . Если , к содержимому специальной ячейки (кото­рая носит название «счетчик числа событий») прибавляется единица, а если , прибавляется нуль.

После проведения испытаний такого рода содержимое счетчика числа событий считывается и используется в качестве случайного числа с законом распределения Пуассона.

1.9. Формирование случайных чисел с нормальным законом распределения с

использованием предельных теорем теории вероятностей

Например, пусть требуется получить последовательность случайных чисел , имеющих нормальное распределение с ма­тематическим ожиданием и средним квадратическим отклоне­нием

.

Здесь можно воспользоваться центральной предельной тео­ремой теории вероятностей и построить случайные числа в виде сумм последовательных случайных чисел, имеющих рав­номерное распределение в интервале (0, 1).

Так как исходным материалом для суммирования служат случайные числа, имеющие равномерное распределение в интер­вале (0, 1), то мы можем воспользоваться центральной предель­ной теоремой для одинаково распределенных случайных вели­чин: если независимые случайные величины имеют все одно и то же распределение вероятностей и если каждое имеет математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение , то сумма

(1.8)

асимптотически нормальна с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .

Как показывают расчеты, сумма имеет распределение, близкое к нормальному, уже при сравнительно небольших . Практически для получения последовательности нормально рас­пределенных случайных чисел можно пользоваться значениями , равными 8….12, а в простейших случаях и меньшими значе­ниями , например 4 … 5.

Как известно, математическое ожидание для случайных ве­личин, имеющих равномерное распределение в интервале (0, 1), равно 0,5, а среднее квадратическое отклонение .

Поэтому сумма слагаемых будет иметь математическое ожида­ние и среднее квадратическое отклонение .

Для обеспечения достаточно точного совпадения закона рас­пределения суммы (1.8) с нормальным, очевидно, требуется увеличивать число слагаемых . Однако это не единственно воз­можный путь.

Как показано в работе [3], для улучшения асимптотической нормальности случайных чисел можно воспользоваться специ­альными преобразованиями.

Так, если имеется сумма

(1.9)

случайных величин равномерно распределенных в интервале , то величина

(1.10)

будет иметь распределение, достаточно близкое к нормальному, при существенно меньших, чем это требуется для (1.9). По данным [3] при = 5 закон распределения случайной вели­чины оказывается заведомо близким к нормальному.

Еще более точным в этом смысле является преобразование

, (1.11)

для которого, по-видимому, достаточно иметь = 2.

Практическое использование преобразований вида (1.10) и (1.11) может оказаться весьма полезным при решении многих задач.

Окончательное мнение о целесообразности выбора опреде­ленного значения и использования того или другого преобра­зования может сложиться лишь в результате оценки затрат ра­бочего времени ЭВМ при решении данного класса задач.

Пример моделирования случайных чисел с нормальным законом распределения приведен в Задании 1.5.