Дополнительные задачи.

1. В правильном треугольнике со стороной точки и являются серединами сторон и соответственно. Точка лежит на отрезке , отрезки и пересекаются в точке . Найти длину , если известно, что площадь четырехугольника составляет площади треугольника .

2. Две стороны треугольника и биссектриса угла между ними равны и см. соответственно. Найти площадь треугольника.

3. Высота равнобедренного треугольника с углом при основании больше радиуса вписанного в него круга на число . Найти основание треугольника и радиус описанной около него окружности.

4. В треугольнике угол прямой. Биссектриса отсекает треугольник , площадь которого составляет площади треугольника . В каком отношении биссектриса делит высоту ?

5. В треугольнике на сторонах и взяты точки и так, что . Прямые и пересекаются в точке . Найти площадь треугольника , если известно, что площадь треугольника равна см.?

6. В треугольнике со сторонами через основание высоты проведены прямые, параллельные прямым и , которые пересекают соответственно стороны и треугольника в точках и . Прямая пересекает продолжение стороны в точке . Найти длину отрезка .

7. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой длины оснований равны и см., а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

8. Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной и см. Найти стороны и диагонали параллелограмма, если известно, что разность сторон равна см.

9. В квадрате : точка — середина , точка лежит на , причем , точка делит в отношении . Найти синус угла между отрезками и .

10. В трапеции с основаниями и биссектриса угла пересекает сторону в точке . Известно, что . Найти длину отрезка .

ОКРУЖНОСТИ.

Основные теоретические сведения.

К асательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку (точка касания).

Свойства касательной:

1. касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания;

2. отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны:

Центральные и вписанные углы. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

С войства углов :

1. центральный угол равен дуге, на которую он опирается

;

2. вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

;

3. вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой;

4. угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри него:

Теорема о касательной и секущей.

Если из точки, лежащей вне окружности проведены касательная и секущая , то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, т.е.

.

Х орды окружности.

Свойства хорд:

1. хорда окружности перпендикулярна радиусу, её пересекающему, тогда и только тогда, когда она делится этим радиусом пополам;

2. если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

Д лины и площади.

1. длина окружности радиуса равна ;

2. площадь круга радиуса равна ;

3. длина дуги окружности радиуса с центральным углом (измеренным в радианах) равна , а градусах — ;

4. площадь сектора радиуса с центральным углом в радиан (сектор ) равна , а в градусах — .

Окружность и треугольник.

1. центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, ее радиус , где — площадь треугольника, — полупериметр;

2. центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус вычисляется по одной из формул:

или ,

где — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны , — площадь треугольника;

3. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. Отсюда следует, в частности, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Для прямоугольного треугольника верно утверждение: диаметр вписанной окружности равен сумме катетов минус гипотенуза;

4. центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

Окружность и четырехугольники.

1. около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна ;

2. около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;

3. около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;

4. в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон;

5. в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом; цент окружности есть точка пересечения его диагоналей;

6. трапеция в которую вписана окружность обладает свойством: если и ее боковые стороны, а — центр вписанной окружности, то и — прямые.

Хорды, касательные

1. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, удаленные от центра на расстоянии 3 и 4. Найти радиус окружности.

2. Точки лежат на окружности Чему равна хорда , если , а диаметр окружно­сти равен 10.

3. Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная половине радиуса. Найти угол меж­ду диаметром и хордой.

4. Из точки к окружности проведены касательная и секущая. Найти длину касательной, если отрезки, на которые окружность делит секущую, 18 и 50.

5. Хорды и окружности пересекаются в точке , причем , . Найти длину .

6. Внутри окружности, радиус которой равен 13, дана точка на расстоянии 5 от центра окружности. Через точку проведена хорда . Найти отрезки, на которые хорда делится точкой .

7. На стороне треугольника , как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону в точке . Найти площадь треугольника , если .