Четырехугольники.

Площадь выпуклого четырехугольника. Площадь любого выпуклого четырехугольника легко вычислить с помощью формулы: , где — его диагонали, а — угол между ними.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма:

1. противоположные стороны равны и параллельны;

2. противоположные углы равны;

3. диагонали делятся точкой пересечения пополам;

4. сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: .

5. площадь вычисляется по одной из трех формул: , где — высота, опущенная на сторону , — угол между сторонами и , — угол между диагоналями и .

Ромб. Свойства ромба:

1. все стороны ромба равны между собой;

2. диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами внутренних углов.

Трапеция. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две — нет. Площадь трапеции может быть вычислена по одной из следующих формул:

, где и — основания трапеции (параллельные стороны),

— ее высота (расстояние между основаниями), — средняя линия трапеции( отрезок, соединяющий середины боковых сторон и параллельный основаниям трапеции). Непараллельные стороны трапеции называются — боковыми сторонами.

Медианы

1. Точка лежит на медиане треугольника Найти , если и .

2. В треугольнике сторона , медианы . Найти площадь треугольника .

3. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, равна 15 , а высота, опущенная на основание треугольника, равна 18. Найти площадь треугольника.

4. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, образуют между со­бой прямой угол. Высота, опущенная на основание треугольника, равна 9. Найти площадь тре­угольника.

5. Длины сторон треугольника равны 11, 12 и 13 . Найти длину медианы, проведенной к большей стороне

6. Найти площадь треугольника, если две его стороны равны 27 и 29, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 26.

Биссектрисы

1. Диагонали трапеции делят углы, прилежащие к большему основанию, пополам. Периметр трапе­ции равен 36, а средняя линия 11,7. Найти длину большего основания.

2. В параллелограмме со сторонами и углом , равным 60°, найти длину биссектрисы .

3. В равнобедренной трапеции длины боковых сторон и меньшего основания равны 2, а диагональ перпендикулярна боковой стороне . Найти площадь трапеции.

4. В прямоугольном треугольнике катеты — биссектриса. Найти пло­щадь треугольника .

5. Найти площадь равнобедренного треугольника, если биссектриса угла при основании делит боко­вую сторону на отрезки 3 и 2 , считая от основания.

6. В треугольнике со сторонами 2, 3 и 4 найти длину биссектрисы среднего по величине угла В параллелограмме со сторонами проведены биссектрисы и , пересекающиеся в точке ( точки и лежат на стороне ). Найти площадь тре­угольника .

7. В равнобедренной трапеции с основанием , боковыми сторонами и проведены биссектрисы и , пересекающиеся в точке ( точки и лежат на стороне ). Найти периметр тре­угольника .