Планиметрия. Основные теоретические сведения.

Тригонометрические функции и прямоугольный треугольник.

Т ригонометрические функции и стороны прямоугольного треугольника связаны следующими соотношениями:

1. синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: ;

2. косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: ;

3. тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему: ;

4. котангенс острого угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему: .

Т еорема о пропорциональных отрезках.

Стороны угла, пересекаемые рядом параллельных прямых, делятся ими на пропорциональные части:

Подобие треугольников.

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:

1. два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;

2. две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;

3. три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам другого треугольника.

Поскольку сумма углов любого треугольника равна , то, в частности, два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по одному равному острому углу.

Отметим также, что в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Коэффициент их пропорциональности равен коэффициенту подобия треугольников.

Т еорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности: .

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: .

Формулы площади треугольника.

П лощадь треугольника вычисляется с помощью одной из пяти следующих формул: ; (формула Герона); в этих формулах — полупериметр треугольника, — радиус вписанной в треугольник окружности, — радиус описанной около треугольника окружности.

Перечислим некоторые свойства отношения площадей треугольников, следующих из этих формул:

1. Площади двух треугольников с равными основаниями (высотами) относятся как их высоты (основания).

2. Площади двух треугольников, имеющих равный угол, относятся как произведение сторон, заключающих равный угол.

3. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади;

2. медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении , считая от вершины (цент тяжести треугольника) ;

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих (равных по площади) треугольников.

Биссектриса. Свойства биссектрис треугольника:

1. б иссектриса угла — геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла;

2. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центр вписанной в треугольник окружности);

3. биссектриса делит противоположную сторону треугольника на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам

Высота — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Свойства высоты треугольника:

1. высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр треугольника);

2. в прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному: и подобны . Отсюда получаем следующие утверждения:

   1. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу ( и ).

   2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу (

3. в остроугольном треугольнике две высоты отсекают от него подобные треугольники: треугольник подобен треугольнику и, кроме того, треугольник подобен треугольнику .

Правильный треугольник. В правильном (равностороннем) треугольнике со стороной :

высота , площадь , радиус вписанной окружности , радиус описанной около треугольника окружности .