Среднее значение по tif-изображению при сжатии с различным коэффициентом качества
Знач-е № ЦИ |
|
|
|
|
|
1 |
0.0116 |
0.0083 |
0.0063 |
0.0043 |
0.0029 |
2 |
0.1500 |
0.1030 |
0.0810 |
0.0616 |
0.0455 |
3 |
0.0077 |
0.0051 |
0.0038 |
0.0026 |
0.0017 |
4 |
0.0133 |
0.0082 |
0.0059 |
0.0040 |
0.0025 |
5 |
0.0086 |
0.0062 |
0.0048 |
0.0032 |
0.0021 |
6 |
0.0074 |
0.0060 |
0.0049 |
0.0037 |
0.0022 |
7 |
0.0117 |
0.0084 |
0.0065 |
0.0046 |
0.0026 |
8 |
0.0145 |
0.0092 |
0.0067 |
0.0046 |
0.0028 |
9 |
0.0130 |
0.0095 |
0.0076 |
0.0055 |
0.0037 |
10 |
0.0126 |
0.0089 |
0.0068 |
0.0048 |
0.0032 |
Среднее значение (200 ЦИ) |
0.0251 (1.4o) |
0.0194 (1.1o) |
0.0156 (0.89o) |
0.0115 (0.66o) |
0.0078 (0.45o) |
Таким образом, очевиден вывод: для того, чтобы стеганографический алгоритм был устойчивым к сжатию, достаточно производить стеганопреобразование так, чтобы его формальным представлением была совокупность возмущений сингулярных векторов блоков ЦИ-контейнера, отвечающих максимальным СНЧ ( ) этих блоков.
Процесс стеганопреобразования должен строиться таким образом, чтобы для стеганосообщения обеспечивалась надежность восприятия. В силу этого необходимо получить, в первую очередь, качественные оценки возможного возмущения при организации процесса погружения дополнительной информации.
Таблица 8.2
Среднее значение по tif-изображению при сжатии с различным коэффициентом качества
Знач-е № ЦИ |
|
|
|
|
|
1 |
0.9955 |
0.8044 |
0.6843 |
0.5206 |
0.3805 |
2 |
0.7658 |
0.5602 |
0.4505 |
0.3263 |
0.2193 |
3 |
0.7130 |
0.5552 |
0.4694 |
0.3635 |
0.2545 |
4 |
0.3571 |
0.2484 |
0.2005 |
0.1538 |
0.1042 |
5 |
0.9641 |
0.7881 |
0.6743 |
0.5239 |
0.3272 |
6 |
0.9319 |
0.8063 |
0.7456 |
0.6738 |
0.5470 |
7 |
0.8925 |
0.6961 |
0.6350 |
0.5999 |
0.4103 |
8 |
0.4395 |
0.3160 |
0.2541 |
0.1856 |
0.1161 |
9 |
0.8594 |
0.7338 |
0.6680 |
0.5567 |
0.3856 |
10 |
0.8257 |
0.6630 |
0.5643 |
0.4321 |
0.2935 |
Среднее значение (200 ЦИ) |
0.7721 (45.42o) |
0.6210 (36.18o) |
0.5420 (31.45o) |
0.4441 (25.66o) |
0.3129 (18.00o) |
Как вытекает из неравенства (8.2), возмущение не может быть значительным. Действительно, поскольку (8.2) имеет место для каждого СНВ матрицы , то из него получаем:
,
(8.3)
откуда
вытекает, что при значительной
отделенности
максимального сингулярного числа
даже небольшое возмущение
,
которое выражается в повороте этого
вектора на угол
,
может привести к значительному возмущению
матрицы блока, что, в свою очередь, с
большой вероятностью повлечет за собой
нарушение надежности восприятия
изображения-стеганосообщения.
Характер
поведения вектора
определяются не только соотношением
(8.3). По теореме Фробениуса любая
неразложимая неотрицательная матрица
всегда имеет положительное собственное
значение
,
являющееся простым корнем соответствующего
ей характеристического уравнения.
Модули всех других собственных значений
не превосходят
.
Собственному значению
соответствует собственный вектор
с положительными координатами.
Для
блока контейнера с матрицей
матрица
является симметричной:
,
для
которой с учетом нормального сингулярного
разложения для
имеет место соотношение:
,
(8.4)
которое в силу ортогональности матрицы и лексикографической положительности ее столбцов, а также диагональности матрицы
(8.5)
представляет
собой нормальное спектральное разложение
,
определяемое однозначно. При этом
столбцы матрицы
— собственные векторы
,
а диагональные элементы матрицы
— собственные значения
(все
они неотрицательные, как следует из
(8.5)). По теореме Фробениуса максимальному
собственному значению
(8.6)
отвечает
собственный вектор
(первый столбец матрицы
)
с положительными координатами, но
этот собственный вектор одновременно
является левым сингулярным вектором
блока
,
отвечающим максимальному СНЧ
.
Аналогичное утверждение будет следовать
для правого СНВ
блока
,
отвечающего
:
имеет все положительные координаты,
поскольку для симметричной матрицы
(
)
имеет место равенство, аналогичное
(8.4):
.
Таким образом, в любой неразложимой неотрицательной матрице блока ЦИ левый и правый СНВ, отвечающие максимальному СНЧ, имеют положительные координаты. Необходимо отметить, что левый (правый) сингулярный вектор, все компоненты которого положительны, единственный для при ортонормированности СНВ.
Важно, что независимо от силы возмущающего воздействия, которое претерпевает цифровое изображение, его матрица (матрицы его блоков) остаются неразложимыми неотрицательными, а значит и обсуждаемые СНВ будут после возмущения (даже сильного) иметь все положительные координаты, поэтому эти векторы является не только устойчивыми, но и sign-устойчивыми к любому возмущающему воздействию.
Вектор является sign-неустойчивым, если даже малые возмущающие воздействия могут привести к изменению знаков его координат, и sign-устойчивым в противном случае. Наибольшей sign-устойчивостью среди нормированных векторов пространства обладает так называемый n-оптимальный вектор:
,
образующий равные углы со всеми координатными плоскостями .
Особенностью sign-устойчивости левого и правого сингулярных векторов, отвечающих максимальному сингулярному числу матрицы блока цифрового изображения является то, что она имеет место не только при малых возмущающих воздействиях, но и при воздействиях любой силы, в том числе, при сжатии изображения со значительными коэффициентами, причем это свойство присуще упомянутым векторам как до, так и после произвольного возмущающего воздействия (оставляющего блоки неразложимыми), которому подвергается изображение. Очевидно, что если стеганопреобразование будет организовано таким образом, что его формальным представлением будет совокупность возмущений СНВ и блоков матрицы контейнера, то сжатие СС, в том числе, со значительными коэффициентами, не затронет или затронет незначительно погруженную информацию, обеспечивая устойчивость соответствующего стеганоалгоритма к атаке сжатием.
Все вышесказанное приводит к следующему качественному выводу относительно взаимного расположения векторов , и n-оптимального.
Утверждение.
СНВ 8*8-блоков матрицы ЦИ (
,
),
отвечающие наибольшим СНЧ (
),
близки к n-оптимальному
вектору пространства
независимо от величины и вида возмущающего
воздействия, которое претерпевает
цифровое изображение, от формата его
хранения, т.е. углы между векторами
и n-оптимальным,
и n-оптимальным,
а потому и между
и
для подавляющего большинства блоков
изображения имеют малые значения.
Проведенный вычислительный эксперимент с учетом того, что в пространстве n-оптимальный вектор имеет следующий вид:
,
подтверждает полученное теоретическое заключение. Иллюстрацией этому является левый, правый сингулярные векторы, отвечающие максимальному сингулярному числу одного случайно выбранного блока случайно выбранных цифровых изображений, приведенные в таблице 8.3. Изображения брались различными для каждого примера таблицы 8.3.
Таблица 8.3
Сингулярные векторы блоков матриц изображений, отвечающие максимальным сингулярным числам, при разном качестве сжатия
Формат ЦИ |
Сингулярный вектор |
JPEG
( |
: 0.3536 0.3536 0.3536 0.3535 0.3535 0.3535 0.3536 0.3536 |
: 0.3541 0.3538 0.3533 0.3531 0.3531 0.3533 0.3538 0.3541 |
|
JPEG
( |
: 0.3780 0.3747 0.3681 0.3581 0.3481 0.3381 0.3314 0.3281 |
: 0.3667 0.3634 0.3601 0.3568 0.3501 0.3468 0.3435 0.3401 |
|
JPEG
( |
: 0.3898 0.4007 0.4079 0.3960 0.3679 0.3193 0.2678 0.2351 |
: 0.2370 0.1812 0.1695 0.2714 0.3965 0.4957 0.4691 0.4309 |
|
JPEG
( |
: 0.3107 0.3273 0.3497 0.3656 0.3701 0.3675 0.3659 0.3667 |
: 0.4020 0.3885 0.3673 0.3462 0.3318 0.3265 0.3273 0.3299 |
|
JPEG ( ) |
: 0.2438 0.2435 0.2574 0.3268 0.3926 0.4206 0.4375 0.4310 |
: 0.3482 0.3504 0.3539 0.3566 0.3570 0.3561 0.3537 0.3525 |
|
JPEG ( ) |
: 0.3542 0.3506 0.3499 0.3521 0.3534 0.3528 0.3556 0.3598 |
: 0.3485 0.3427 0.3544 0.3468 0.3570 0.3568 0.3599 0.3618 |
|
JPEG ( ) |
: 0.3416 0.3487 0.3585 0.3620 0.3562 0.3487 0.3528 0.3595 |
: 0.3409 0.3448 0.3452 0.3519 0.3484 0.3525 0.3708 0.3724 |
|
JPEG
( |
: 0.4059 0.3903 0.3917 0.3908 0.3880 0.3545 0.2663 0.1718 |
: 0.2991 0.2064 0.2047 0.3272 0.4022 0.4039 0.4614 0.4256 |
|
TIF |
: 0.3527 0.3513 0.3512 0.3534 0.3535 0.3525 0.3558 0.3580 |
: 0.3462 0.3462 0.3517 0.3505 0.3553 0.3587 0.3589 0.3606 |
)
)
)
)
)
Из всего вышесказанного вытекает, что малым при сжатии будет не только отклонение сингулярных векторов и от первоначального положения, что говорит о «классической» нечувствительности данных векторов, но и изменение во взаимном расположении , , n-оптимального вектора.
Для комплексной количественной оценки полученного качественного заключения был проведен вычислительный эксперимент, в котором анализировались значения углов между векторами и n-оптимальным, и n-оптимальным, и для цифровых изображений, первоначально хранимых в формате без потерь, а затем после сжатия с различными коэффициентами качества . Иллюстрация типичных результатов представлена для одного из тестируемых ЦИ на рис.8.4-8.6.
Из представленных гистограмм видно, что качественная картина взаимного расположения векторов , , n-оптимального практически не зависит от коэффициента качества при сжатии, в частности, глобальный максимум всех гистограмм для рассматриваемого цифрового изображения наблюдается в нуле. При этом средние значения для углов между сингулярными векторами и , и n-оптимальным, и n-оптимальным по всему изображению соответственно составили:
для TIF-ЦИ — 5.0, 3.7, 3.2;
для JPEG-ЦИ ( ) – 4.8, 3.6, 3.0;
для
JPEG-ЦИ
(
)
— 4.9, 3.7, 3.1;
для JPEG-ЦИ ( ) — 4.9, 3.7, 3.2,
т.е. взаимное расположение векторов , , n-оптимального для рассмотренного примера практически не изменяется при различных по силе возмущающих воздействиях, отвечающих сжатию.
а б
в г
Рис.8.4. Гистограммы значений углов между СНВ и блоков для одного ЦИ при различных форматах хранения: TIF (а); JPEG (б); JPEG (в); JPEG (г)
В
ходе эксперимента для каждого ЦИ в
формате TIF,
а затем после пересохранения его в JPEG
с различными значениями коэффициента
качества
вычислялись средние значения углов
между
и
(обозначаемое как
),
и n-оптимальным
(
),
и n-оптимальным
(
)
по всему изображению.
а б
в г
Рис.8.5. Гистограммы значений углов между СНВ блоков и n-оптимальным для одного ЦИ при различных форматах хранения: TIF (а); JPEG (б); JPEG (в); JPEG (г)
Для
го
ЦИ эти значения обозначались соответственно
,
,
,
,
где верхний индекс
указывает на формат хранения ЦИ (для
JPEG-ЦИ
он указывает на значение коэффициента
качества
,
использованного при сжатии).
а б
в г
Рис.8.6. Гистограммы значений углов между СНВ блоков и n-оптимальным для одного ЦИ при различных форматах хранения: TIF (а); JPEG (б); JPEG (в); JPEG (г)
Результаты
проведенного вычислительного эксперимента
для наибольшего из рассмотренных
возмущающих воздействий (
)
отражены на рис.8.7, в табл.8.4, откуда
видно, что для подавляющего большинства
изображений
,
,
претерпевают при сжатии с
возмущение, не превосходящее одного
градуса (рис.8.7), при этом средние
значения
,
,
,
,
соответственно равны 0.58, 0.45,
0.41.
а б
в
Рис.8.7.
Результат сжатия ЦИ, хранящегося
первоначально без потерь: гистограмма
значений
(а); гистограмма значений
(б); гистограмма значений
(в)
В
таблице 8.4
,
,
– это средние значения по всем
тестируемым изображениям глобальных
максимумов гистограмм значений углов
между СНВ
и
,
и n-оптимальным,
и n-оптимальным
соответственно, выраженные в градусах;
,
,
— средние значения по всем тестируемым
ЦИ
,
,
,
,
соответственно, выраженные в градусах.
Таблица 8.4 –
Характеристики взаимного расположения сингулярных векторов , и n-оптимального вектора
Формат ЦИ |
|
|
|
|
|
|
|
TIF |
0,88 |
0,77 |
0,66 |
5,84 |
4,29 |
3,76 |
|
JPEG |
|
0,61 |
0,48 |
0,31 |
5,89 |
4,31 |
3,74 |
|
0,65 |
0,55 |
0,39 |
5,91 |
4,33 |
3,76 |
|
|
0,78 |
0,58 |
0,39 |
5,95 |
4,36 |
3,80 |
|
|
0,84 |
0,60 |
0,51 |
5,95 |
4,36 |
3,81 |
|
|
0,85 |
0,70 |
0,58 |
5,88 |
4,32 |
3,78 |
|
|
0,86 |
0,74 |
0,66 |
5,87 |
4,32 |
3,78 |
|
|
0,89 |
0,77 |
0,69 |
5,88 |
4,32 |
3,72 |
|
Из табл.8.4 видно, что все рассмотренные в ходе эксперимента характеристики ( , , , , , ) взаимного расположения векторов , , n-оптимального сравнимы для различных форматов и различного качества сжатия. Дополнительным подтверждением этого являются результаты, представленные в таблице 8.5, полученные в ходе вычислительного эксперимента, в котором тестировалось 300 цифровых изображений в формате без потерь (TIF), 300 изображений в формате JPEG, полученных различными фотокамерами (без привязки к коэффициенту сжатия), 300 изображений в формате JPEG2000, полученных при помощи пересохранения ЦИ из первой группы (TIF).
Проверим,
насколько возмущения СНВ, отвечающих
максимальным СНЧ блоков матрицы ЦИ, в
пределах окрестности n-оптимального
вектора обеспечивают надежность
восприятия возмущенного изображения.
Для этого в среде MATLAB
был проведен вычислительный эксперимент,
в котором было задействовано 300 ЦИ (из
базы NRCS,
которая является традиционной для
тестирования стеганоалгоритмов) в
разных форматах (с потерями, без потерь).
В каждом блоке каждого цифрового
изображения сингулярные векторы
или
(какой
именно из них, выбиралось случайным
образом) поворачивался до совпадения
с n-оптимальным.
Полученные в результате ЦИ сохранялись
в формате без потерь (BMP).
Эти ЦИ сохраняли
надежность восприятия, устанавливаемую
путем субъективного ранжирования, при
этом среднее значение
составило
по 300 ЦИ
34.7
dB.
Типичный иллюстративный пример приведен
на рис.8.8, где при описаном возмущении
ЦИ
.
Таблица 8.5
Характеристики взаимного расположения сингулярных векторов , и n-оптимального вектора при различных форматах хранения цифрового изображени
Формат ЦИ |
|
|
|
|
|
|
|
TIF |
0,90 |
0,76 |
0,64 |
5,89 |
4,41 |
3,87 |
|
|
JPEG |
0,94 |
0,80 |
0,62 |
5,97 |
4,31 |
3,80 |
|
JPEG2000 |
0,91 |
0,75 |
0,61 |
6,30 |
5,09 |
4,53 |
Таким образом, в результате проведенного качественного и количественного анализа возмущений сингулярных векторов блоков матрицы ЦИ при сжатии доказано следующее утверждение, носящее качественный характер.
Утверждение. Для того, чтобы стеганоалгоритм был устойчивым к возмущающим воздействиям достаточно, чтобы процесс стеганопреобразования был организован таким образом, чтобы формальным представлением его являлась совокупность возмущений левых и/или правых сингулярных векторов блоков матрицы контейнера, отвечающих максимальным сингулярным числам ( ) блоков, при этом возмущения сингулярных векторов, происходящие в результате погружения ДИ, должны оставлять их в малой окрестности n-оптимального вектора, что обеспечит надежность восприятия сформированного стеганосообщения. Если же при формальном представлении стеганопреобразования в виде совокупности возмущений сингулярных векторов блоков матрицы контейнера эти возмущения будут отвечать сингулярным векторам для которых сингулярные числа имеют малую отделенность, то сформированное стеганосообщение окажется чувствительным, а соответствующий стеганоалгоритм неустойчивым к сжатию.
Замечание. Необходимо заметить, что возмущения сингулярных векторов, отвечающих максимальным сингулярным числам блоков, нельзя рассматривать обособленно от возмущений остальных СНВ блоков, поскольку в силу ортормированности всех СНВ блока возмущение ( ) необходимо приведет к возмущению всех остальных, что увеличит величину возмущения всего блока (и это произойдет безотносительно к процессу стеганопреобразования). Поэтому при организации процесса погружения ДИ необходимо будет для конкретных разрабатываемых стеганоалгоритмов обеспечить процесс приведения всех сингулярных векторов к ортонормированному виду так, чтобы за счет этого приведения величина возросла незначительно.
а
б
Рис.8.8. Результат возмущения в каждом блоке цифрового изображения сингулярного вектора, отвечающего максимальному сингулярному числу блока: исходное ЦИ (а); возмущенное ЦИ (б)
Из предыдущих утверждений следует истинность следующего утверждения.
Утвержение. Для того, чтобы стеганоалгоритм был устойчивый к возмущающим воздействиям, достаточно, чтобы процесс стеганопреобразования проводился таким образом, чтобы при формальном представлении его результата в виде совокупности возмущений сингулярных чисел и/или сингулярных векторов блоков, эти совокупности содержали возмущения максимальных СНЧ блоков и/или СНВ, отвечающих максимальным СНЧ блоков.
Замечание.
Истинность полученных утверждений не
зависят от того, в какой области контейнера
(пространственной, частотной) происходило
стеганопреобразование. Это вытекает
из возможности формального представления
произвольного СП в виде
,
где
— матрица контейнера,
—
матрица стеганосообщения.
Замечание. Полученные теоретические заключения могут быть использованы для организации анализа любого из существующих стеганоалгоритмов с точки зрения его устойчивости к возмущающим воздействиям. Для этого необходимо результат стеганопреобразования представить в виде совокупности возмущений СНЧ и/или СНВ блоков матрицы контейнера и воспользоваться предыдущими утверждениями.