3. Анализ возмущений сингулярных векторов матриц (блоков матриц) цифровых изображений при разных возмущающих воздействиях

Нормированный вектор является чувствительным (или плохо обусловленным), если малое возмущающее воздействие способно привести к значительному отклонению этого вектора от начального положения, и нечувствительным в противном случае.

Чувствительность СНВ любой матрицы, в том числе и матрицы блока ЦИ, характеризующая величину «ответа» вектора на возмущающее воздействие, различна, в отличие от чувствительности СНЧ (определяемой (8.1)), и в соответствии с соотношением:

при условии , (8.2)

где — угол между соответствующими исходным и возмущенным СНВ и , мерой этой чувствительности является отделенность соответствующего сингулярному вектору сингулярного числа. СНВ, которые отвечают СНЧ с малой отделенностью, являются настолько чувствительными к любым возмущающим воздействиям, что качественно их возмущения не содержат практически никакой информации о реальной величине возмущающего воздействия, а главное, такие СНВ не имеет смысла задействовать в процессе стеганопреобразования: если процесс СП будет формализован совокупностью возмущений таких векторов, то полученное стеганосообщение окажется чувствительным к любому возмущающему воздействию, в частности, к сжатию. Таким образом, полезными с точки зрения анализа и организации процесса СП являются СНВ, СНЧ которых имеют значительную отделенность. Эти векторы малочувствительны не только к сжатию, но и к любому возмущающему воздействию, что будет использовано ниже.

Выясним детально, какие СНВ блоков матрицы ЦИ являются гарантировано малочувствительными к сжатию.

Сингулярные числа блоков, как правило, таковы, что максимальное СНЧ значительно отличается от всех последующих, тем самым имея максимальную отделенность, причем эта отделенность значительно превосходит отделенности всех остальных сингулярных чисел. Это свойство является чрезвычайно значимым в силу следующего. Если отделенность не превосходит , то (8.2) превращается в тривиальную оценку:

,

которая не дает никакой полезной информации: поведение соответствующих сингулярных векторов непредсказуемо. Эта непредсказуемость объективна и не связана с тем, что для анализа их поведения соотношения (8.2) недостаточно. Для иллюстрации приведем пример. Пусть исходная и возмущенная матрицы – это

При этом , а отделенности СНЧ принимают значения от 0.001 до 0.004, т.е.

.

Это привело к тому, что любой ненулевой вектор длины 8 является СНВ для , нет никакой принципиальной возможности оценить возмущение СНВ – угол .

Будем говорить, что сингулярное число блока имеет достаточную (недостаточную) отделенность по отношению к возмущению , если

( ).

Из вышесказанного вытекает важность оценки возможного возмущения блока изображения при сжатии. Понятно, что при снижении коэффициента качества величина возмущающего воздействия при сжатии изображения возрастает. Так, например, при сжатии с чаще всего блок ЦИ претерпевает возмущение, спектральная норма матрицы которого порядка 10. Это значит, что если отделенность СНЧ блока будет не больше 20, то о поведении соответствующего СНВ в большинстве случаев ничего определенного априори сказать нельзя (такие сингулярные числа будут иметь недостаточную отделенность по отношению к сжатию с ). При уменьшении коэффициента качества до 60 получается, что достаточная отделенность СНЧ по отношению к такому сжатию должна превосходить 40.

Как показывает вычислительный эксперимент, отделенность максимального СНЧ блоков исходного ЦИ, хранимого без потерь, в подавляющем большинстве случаев будет значительно больше максимального значения нормы матрицы возмущения блока при сжатии, тогда в соответствии с оценкой (8.2), соответствующий такому СНЧ СНВ будет малочувствительным к сжатию (даже при малых ), причем такой вектор в блоке единственный. Отделенность остальных СНЧ блоков в общем случае не может гарантировать нечувствительности к сжатию своим СНВ даже при большом значении .

Поскольку наименее чувствительным к сжатию является СНВ блока, отвечающий максимальному СНЧ, необходимо оценить эту чувствительность количественно. Для этого в среде MATLAB был проведен вычислительный эксперимент, в котором участвовало 200 ЦИ, хранимых без потерь. В ходе эксперимента эти изображения пересохранялись в JPEG с различными коэффициентами качества. Пусть

,

где — СНВ , отвечающий , а — результат возмущения в процессе сжатия. Результаты эксперимента для 10 выбранных случайно изображений представлены в таблице 8.1, где соответствующие значения получались как среднее арифметическое для по всем блокам тестируемого изображения. В последней строке таблицы 8.1 даны средние значения по всем тестируемым 200 ЦИ, в скобках приведены средние значения угла поворота при соответствующих сжатиях. Заметим, что практически нечувствителен к сжатию даже при сравнительно малом коэффициенте качества ( ) в отличие от — СНВ блока, отвечающего СНЧ , который оказывается заметно чувствительным к сжатию даже с большим коэффициентом качества (табл.8.2 (здесь , где — результат возмущения в процессе сжатия). Для СНВ, отвечающих , качественная картина их чувствительности, как следует из всего вышесказанного, будет еще хуже, чем для .

Таблица 8.1