1. Способ пересылки и декодирования дополнительной информации

Пусть — -матрица ОС, , а в качестве ДИ выступает случайно сформированная бинарная числовая последовательность, содержащая элементов из множества , рассматриваемая ниже как вектор длины . Последовательность может содержать менее элементов, тогда она дополняется незначащими элементами до нужной длины.

Основные шаги метода двухэтапного декодирования ДИ SYSTEMA следующие:

1. Погружение ДИ.

а) Вычислить произведение

.

В предположении отсутствия ошибок округления, вектор является

точным решением СЛАУ

. (7.1)

б) Вектор погрузить в вместо вектора ДИ каким- либо СМ (СМ1).

2. Декодирование .

а) Из полученого СС, возможно подвергшегося возмущениям при пересылке, извлечь погруженный вектор в возмущенном виде при помощи СМ1. После извлечения вектора матрица изображения , в общем случае, будет отлична от .

б) Извлечь путем решения неоднородной СЛАУ

, (7.2)

где ;

— возмущения матрицы системы и вектора правой части соответственно;

— результат декодирования в условиях возмущенных входных данных.

Использование предлагаемого способа пересылки и декодирования ДИ SYSTEMA, включающего дополнительный этап в виде решения СЛАУ, при обеспечении достаточного условия устойчивости метода, обоснованного ниже, дает возможность увеличить объем правильно восстановленной информации по сравнению с непосредственной пересылкой на месте вектора при абсолютно аналогичных условиях.

2. Условие устойчивости метода systema

Пусть , где — абсолютная погрешность . Тогда СЛАУ (7.2) представляется в виде:

(7.3)

Учитывая, что и , выразим из (7.3) :

, (7.4)

откуда, принимая во внимание элементарные свойства нормы и невырожденность матрицы , получаем:

. (7.5)

Выбор конкретных матричной и векторной норм не существенен, поэтому никак не оговаривается. Важно лишь, что эти нормы согласованные.

Поскольку , разделив неравенство (7.5) на , получим:

. (7.6)

Из (7.6) вытекает, что является числом обусловленности, а значит мерой чувствительности задачи о решении СЛАУ к погрешности в исходных данных. Если число обусловленности матрицы ОС мало, задача декодирования ДИ на втором этапе SYSTEMA является нечувствительной, малые возмущения на входе незначительно изменят результат, .

Предположим, что значения

(7.7)

невелики. Соотношения (7.7) анализируют возмущения всей матрицы и всего вектора в целом. Даже большая погрешность, возникающая в отдельных пикселях СС при небольшом их количестве не отразится значительно на оценках для выражений (7.7), а, значит, при хорошей обусловленности матрицы , и на значениях элементов вектора в силу (7.6), хотя некоторые элементы могут быть сильно «испорчены». Подтверждением этого являются результаты вычислительного эксперимента, приведенные ниже.

Основным вычислительным звеном SYSTEMA является решение СЛАУ (7.2). Применение устойчивого численного метода к произвольной неоднородной системе с невырожденной матрицей в общем случае не гарантирует получение результата с малой погрешностью. Даже если вектор невязки, определяемый как

, (7.8)

мал, это не означает, что . Действительно, из (7.8) получаем, что , и соответственно

, (7.9)

откуда . Очевидно, что малость (7.8) гарантирует малую относительную погрешность решения только в том случае, когда матрица системы хорошо обусловлена.

Таким образом, для эффективного использования метода SYSTEMA в качестве контейнера нужно использовать ЦИ, с хорошо обусловленной матрицей.

Заметим, что на практике оценка (7.6) часто оказывается завышенной. Пусть — матрица, составленная из модулей элементов , а неравенство типа понимается как система покомпонентных неравенств для элементов матриц: для всех . Аналогичные обозначения используются и для векторов. На практике часто можно добиться того, чтобы и удовлетворяли оценкам :

(7.10)

где — некоторое очень малое число — относительная погрешность входных данных. Наименьшее число , для которого существуют возмущения и , удовлетворяющие оценкам (7.10) и уравнению (7.3), выражается через невязку , определяемую соотношением (7.8), формулой:

.

Из (7.4) получаем:

(7.11)

.

Предположим, что используемая векторная норма обладает свойством: , (такими будут, например, max-норма, евклидова норма), тогда из (7.11) получаем:

. (7.12)

Если возмущению подверглась только матрица системы , а вектор правой части остался неизменным ( ), тогда из (7.11) вытекает оценка, подобная (7.12), имеющая вид: , а для относительной погрешности полученного имеем:

. (7.13)

Величина — число обусловленности Скила — также, как и , позволяет оценить относительную погрешность результата через относительную погрешность входных данных , может использоваться для оценки погрешности результата и в случае, если . Действительно, из (7.12) получаем:

Откуда . Имеет место также оценка, аналогичная (7.9):

(7.14)

На практике оценки (7.13) и (7.14) могут быть значительно меньше аналогичных оценок (7.6) и (7.9). Это приводит к тому, что СЛАУ даже с большим может решаться с высокой точностью.

Из оценок (7.13) - (7.14) и предположения об устойчивости СМ1, используемого для декодирования вектора , вытекает истинность следующей теоремы.

Теорема. Пусть матрица изображения, используемого в качестве ОС, имеет малое число обусловленности Скила. Тогда метод SYSTEMA является устойчивым.