4. Связь стеганопреобразования и возмущений спектра и собственных векторов матрицы контейнера

Любое стегопреобразование возмущает спектр матрицы ОС и (или) ее ортонормированные СВ. Установим связь между этими возмущениями и характеристиками СМ, а также свойствами СС.

Пусть – произвольная симметричная матрица, модули СЗ которой попарно различны. Тогда, как уже говорилось в лекции 4, для нее существует единственное нормальное спектральное разложение. Из единственности упомянутого разложения вытекает, что любое преобразование, в частности стеганопреобразование, матрицы ЦИ формально представляется в виде возмущения ее спектра и (или) СВ, которые и определяются нормальным спектральным разложением.

Назовем абсолютной отделенностью СЗ матрицы число, которое определяется в соответствии с формулой:

.

Можно показать, что для обеспечения высокой вероятности сохранения надежности восприятия СС для заданного контейнера СМ должен обеспечивать малую норму (в частности, Фробениуса, СМН) матрицы возмущений при стеганопреобразовании. Для этого погружение ДИ в контейнер целесообразно проводить таким образом, чтобы при представлении стеганопреобразования в виде возмущений спектра и СВ матрицы ОС, возмущенные СВ отвечали малым по модулю СЗ или СЗ, которые имеют малые абсолютные отделенности, а возмущение СЗ (не имеет значения, каких именно) были малые. Чем меньше возмущение СЗ, абсолютные отделенности и модули СЗ, которые отвечают возмущенным СВ, тем больше вероятность сохранения надежности восприятия СС.

Теорема. Пусть результатом стеганопреобразования являются возмущения СВ матрицы ОС. Достаточным условием обеспечения малой чувствительности полученного СС к разным возмущениям и, как следствие, увеличение устойчивости процесса декодирования ДИ, является соответствие возмущенных СВ собственным значениям, которые имеют большую абсолютную отделенность. Абсолютная отделенность СЗ, которые отвечают возмущенным СВ, является мерой чувствительности полученного СС к возмущающим воздействиям.

Доказательство. Пусть матрица - возмущение , вызванное возмущением матрицы СВ из СР (3) вследствие стеганопреобразования. Тогда: = , где - возмущенная матрица . Поскольку результатом стеганопреобразования является изменение некоторых СВ матрицы ОС, то чувствительность СС будет определяться чувствительностью возмущенных СВ. Пусть - исходный и возмущенный нормированные СВ, которые отвечают СЗ , а - угол между ними. Тогда заключение теоремы следует из соотношения:

. (5.6)

Действительно, согласно (5.6) СВ тем меньше будет чувствительным к возмущениям, чем больше абсолютная отделенность его СЗ.

Следствие. Если результатом стеганопреобразования является возмущение матрицы вследствие изменения СВ, для которых СЗ имеют малую абсолютную отделенность, то СС будет чувствительным к возмущающим воздействиям, что может привести к недостаточной эффективности декодирования ДИ в такому СМ.

Вывод: Надежность восприятия СС, его чувствительность к возмущающим воздействиям однозначно определяются возмущениями СЗ и СВ матрицы ОС при стеганопреобразовании. Исходя из расположения и абсолютных значений этих возмущений можно сделать априорные оценки для свойств любого СМ, а также провести сравнение нескольких СМ.