2. Стеганопреобразование как возмущение матрицы контейнера

Как основное сообщение (ОС), или контейнер, для удобства изложения рассматривается изображение в градациях серого, прямоугольная (или квадратная) матрица которого обозначается .

Погружение ДИ в ОС – стеганопреобразование ОС независимо от способа и области этого погружения можно представить как возмущение матрицы . Тогда матрица СС удовлетворяет соотношению:

, (5.1)

где , т.е. - это некоторая функция матрицы контейнера . Исходя из формулы (5.1), каждое стеганопреобразование можно представить в виде аддитивного погружения некоторой информации в пространственной области ОС. Любые преобразования, которые после погружения ДИ происходят со СС, будем рассматривать как дополнительные возмущения матрицы . Таким образом, стеганопреобразованте изображения, результаты атак, которые происходят во время пересылки СС по каналу связи и т.д. представляются в виде элементарных матричных операций.

Определим один из возможных наборов формальных параметров, который полностью определяет любое ОС и СС (ЦИ). параметров можно использовать множество сингулярных чисел и ортонормированных лексикографически положительных сингулярных векторов, а также спектр (совокупность собственных значений) и множество ортонормированных лексикографически положительных собственных векторов (СВ) соответствующей матрицы. Отдадим предпочтение второму набору параметров для симметричной квадратной матрицы размерами благодаря следующим замечаниям:

1) построение спектрального разложения (2.3) симметричной матрицы имеет ряд преимуществ, в сравнении с построением сингулярного разложения, для матрицы произвольной структуры тех же размеров;

2) собственные значения (СЗ) симметричной матрицы являються хорошо обумовленнями в соответствии с формулой:

,

где - СЗ соответствующей матрицы, - матрица возмущения , - спектральная матричная норма (СМН), т.е. задача нахождения СЗ симметричной матрицы является нечувствительной к погрешностям входных данных, чего нельзя утверждать в общем случае для несимметричных матриц;

3) использование симметричной матрицы контейнера позволяет значительно увеличить пропускную способность некоторых стеганографических алгоритмов по сравнению с несимметричным вариантом контейнера.

Если - произвольная квадратная матрица ОС, , поставим в соответствие матрице две симметричные матрицы тех же размеров по правилу (2.4):

(5.2)

Формула (5.2) дает принципиальную возможность рассматривать матрицу ОС как симметричную матрицу, характеристиками которой являются СЗ и СВ, что и делается дальше. Формирование матрицы СС происходит с использованием верхнего треугольника и нижнего треугольника матрицы .