53.Точки экстремума.Необходимое условие существования экстремума.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0.Функция f(x) имеет в точке х0 максимум(минимум), если для всех точек х≠х0 из этой окрестности выполнено неравенство:

f(x0)>f(x) (f(x0)< f(x)).

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции, а те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции,

Называются точками экстремума функции(точки максимума и точки минимума).

Из определения следует, что экстремум функции имеет локальный характер–это наибольшее или наименьшее значение функции по сравнению с ее близлежащими значениями.

Теорема о необходимом условии существования экстремума.Если функция f(x) дифференцируема в точке х=х0 и точка х0 является точкой экстремума, то в этой точке производная функции равна нулю. Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными точками функции. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.

52. Возрастание и убывание функций

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ:если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Признаки возрастания и убывания функции на интервале:

1)если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

2)если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

1.найти область определения функции;

2.найти производную функции;

3.решить неравенства и на области определения;

4.к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

51.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Для раскрытия неопределенностей применяется следующее правило – правило Лапеталя.

Теорема 1. (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки а (а– число или ), g(x) и g′(x) отличны от нуля в указанной окрестности

Тогда если существует предел (конечный или бесконечный) то существует также равный ему предел

Теорема 2. (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки а (а– число или ), g(x) и g′(x) отличны от нуля в указанной окрестности Тогда если существует предел (конечный или бесконечный) то существует также равный ему предел

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Правило Лопиталя– всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой-либо другой метод(замена переменных, домножение и др.)